Suponha um gerador de números aleatórios entre 1 e 5 , expresso por uma v.a. contínua X com a seguinte densidade:
fX(x)=cl 14, & se 1á
Qual a probabilidade dele gerar um número maior que 3,50 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um gerador de números aleatórios que gera valores entre 1 e 5. A variável aleatória $ X $ é contínua e tem uma função de densidade definida por:
X á
O conteúdo que vamos usar aqui é a Distribuição Uniforme Contínua, que é quando todos os valores dentro de um intervalo têm a mesma probabilidade de ocorrer. Para resolver, precisamos saber como calcular a probabilidade de $ X $ estar acima de um certo valor, no caso, 3,50.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função de densidade $ f_X(x) $. Ela nos diz quão “densa” é a probabilidade em cada ponto do intervalo. Como a distribuição é uniforme, essa densidade é constante, ou seja, $ \frac{1}{4} $ entre 1 e 5.

Passo 3

Queremos calcular a probabilidade de $ X $ ser maior que 3,50, ou seja, $ P(X > 3,50) $. Para isso, vamos calcular a área sob a curva da função de densidade de 3,50 até 5.

Passo 4

A probabilidade em uma distribuição contínua é dada pela integral da função de densidade no intervalo desejado. Mas como a densidade é constante, podemos simplificar calculando a proporção do intervalo.
Então,
P(X > 3,50) = 5 - 3,505 - 1 = 1,504 = 0,375

Resposta

A probabilidade de o gerador produzir um número maior que 3,50 é 0,375 ou 37,5%.

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