Suponha um gerador de números aleatórios entre 1 e 5 , expresso por uma v.a. contínua X com a seguinte densidade:
fX(x)=cl 14, & se 1á
Qual a probabilidade dele gerar um número cuja parte inteira seja um número ímpar?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um gerador de números aleatórios entre 1 e 5, representado por uma variável aleatória contínua $ X $ com uma densidade específica. O que a gente precisa descobrir é a probabilidade desse gerador produzir um número cuja parte inteira seja ímpar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade contínua e função densidade de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a densidade de probabilidade dada:
fX(x)=cl 14, & se 1 < x < 5 0, & caso contrário á
Isso significa que $ X $ tem uma distribuição uniforme entre 1 e 5, ou seja, a probabilidade de $ X $ cair em qualquer intervalo de mesmo tamanho dentro desse intervalo é a mesma.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a parte inteira de $ X $ seja ímpar. A parte inteira de $ X $ é o maior número inteiro que é menor ou igual a $ X $. Entre 1 e 5, os números inteiros possíveis são 1, 2, 3 e 4.

Passo 4

Dentre esses, os números ímpares são 1 e 3. Então, queremos saber a probabilidade de $ X $ estar no intervalo onde a parte inteira é 1 ou 3. Isso corresponde aos intervalos:
  • $ 1 < X < 2 $ (parte inteira 1)
  • $ 3 < X < 4 $ (parte inteira 3)

Passo 5

Como a distribuição é uniforme, a probabilidade de $ X $ estar em um intervalo específico é proporcional ao comprimento desse intervalo multiplicado pela densidade. A densidade é $ \frac{1}{4} $, e cada um desses intervalos tem comprimento 1.
Então:
X
14

Passo 6

Para encontrar a probabilidade total de que a parte inteira seja ímpar, somamos as probabilidades dos dois intervalos:
P(Parte inteira ímpar) = P(1 < X < 2) + P(3 < X < 4) = 14 + 14 = 12 í

Resposta

A probabilidade de gerar um número cuja parte inteira seja ímpar é $ \frac{1}{2} $ ou 50%.

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