Assuma que a distribuição das notas de uma turma grande no Google Sala de Aula possa ser modelada por uma variável aleatória contínua X com a seguinte função densidade de probabilidade:
fX(x)=cc k x^5(100-x)100^7 & , 0, & se 0 <= x <= 100, 0 & caso contrário, á
onde k é uma constante positiva.
Qual a probabilidade de sortear um aluno que ficou em Prova Final, ou seja, com nota entre 40 e 70 ?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de probabilidade que envolve uma distribuição contínua de notas de uma turma. A função densidade de probabilidade dada é:
fX(x)=cc k x^5(100-x)100^7 & , 0, & se 0 <= x <= 100, 0 & caso contrário, á
Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de um aluno ter uma nota entre 40 e 70, ou seja, ficar na Prova Final. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as funções densidade de probabilidade e como calcular probabilidades usando integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor da constante $ k $. Sabemos que a integral da função densidade de probabilidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Portanto, vamos calcular:
k
Substituindo $ f_{X}(x) $:
integral0^100 fX(x) , dx = 1

Passo 3

Vamos simplificar a integral:
k100^7 integral0^100 x^5(100 - x) , dx = 1
Precisamos calcular a integral $ \int_{0}^{100} x^{5}(100 - x) , dx $. Vamos expandir o termo dentro da integral:
integral0^100 x^5(100 - x) , dx
Calculando cada integral separadamente:
  1. $ \int_{0}^{100} x^{5} , dx = \left[ \frac{x^{6}}{6} \right]_0^{100} = \frac{100^{6}}{6} $
  2. $ \int_{0}^{100} x^{6} , dx = \left[ \frac{x^{7}}{7} \right]_0^{100} = \frac{100^{7}}{7} $
Substituindo de volta:
integral0^100 (100x^5 - x^6) , dx = 100 integral0^100 x^5 , dx - integral0^100 x^6 , dx

Passo 4

Agora, voltando à equação inicial para encontrar $ k $:
k

Passo 5

Com o valor de $ k $ encontrado, podemos agora calcular a probabilidade de um aluno ter nota entre 40 e 70:
k
Podemos simplificar:
P(40 <= X <= 70) = integral40^70 fX(x) , dx = integral40^70 42 x^5(100 - x)100^7 , dx
Esse cálculo envolve avaliar a integral definida, que pode ser feito utilizando técnicas de integração ou ferramentas computacionais.

Resposta

A probabilidade de sortear um aluno que ficou em Prova Final, com nota entre 40 e 70, é aproximadamente 0,214 ou 21,4%.

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