Assuma que a distribuição das notas de uma turma grande no Google Sala de Aula possa ser modelada por uma variável aleatória contínua com a seguinte função densidade de probabilidade:
onde k é uma constante positiva.
Qual a probabilidade de sortear um aluno que ficou em Prova Final, ou seja, com nota entre 40 e 70 ?
Passo 1
Vamos resolver um exercício de probabilidade que envolve uma distribuição contínua de notas de uma turma. A função densidade de probabilidade dada é:
fX(x)=cc k x^5(100-x)100^7 & , 0, & se 0 <= x <= 100, 0 & caso contrário, á
Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de um aluno ter uma nota entre 40 e 70, ou seja, ficar na Prova Final. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as funções densidade de probabilidade e como calcular probabilidades usando integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor da constante $ k $. Sabemos que a integral da função densidade de probabilidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Portanto, vamos calcular:
k
Substituindo $ f_{X}(x) $:
integral0^100 fX(x) , dx = 1
Passo 3
Vamos simplificar a integral:
k100^7 integral0^100 x^5(100 - x) , dx = 1
Precisamos calcular a integral $ \int_{0}^{100} x^{5}(100 - x) , dx $. Vamos expandir o termo dentro da integral: