O diâmetro das porcas fabricadas por uma companhia é uma v.a. X distribuída uniformemente entre 9 e 13 mm . Os limites de tolerância para esse tipo de porca são de 10 e 12 mm .
Qual o valor d tal que P(E[X]-d ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que o diâmetro das porcas é uma variável aleatória $ X $ distribuída uniformemente entre 9 e 13 mm. Também temos os limites de tolerância entre 10 e 12 mm. Nosso objetivo é encontrar o valor $ d $ tal que a probabilidade de $ X $ estar entre $ E[X] - d $ e $ E[X] + d $ seja de 95%.
Aqui, vamos precisar entender distribuição uniforme, calcular a esperança $ E[X] $ e aplicar conceitos de probabilidade para encontrar esse $ d $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a esperança $ E[X] $ da distribuição uniforme. Para uma distribuição uniforme contínua entre $ a $ e $ b $, a esperança é dada por:
E[X]
No nosso caso, $ a = 9 $ mm e $ b = 13 $ mm. Então:
a

Passo 3

Agora, queremos encontrar $ d $ tal que:
d
Substituindo $ E[X] $ por 11 mm:
P(E[X] - d < X < E[X] + d) = 0,95
Isso significa que queremos que 95% da probabilidade esteja dentro do intervalo $ (11 - d, 11 + d) $.

Passo 4

Como $ X $ é uniformemente distribuído entre 9 e 13 mm, a densidade de probabilidade é constante nesse intervalo. A largura total do intervalo é $ 13 - 9 = 4 $ mm.
A probabilidade de $ X $ estar em qualquer subintervalo é proporcional ao comprimento desse subintervalo. Portanto, queremos que:
X
Aqui, $ 2d $ é a largura do intervalo $ (11 - d, 11 + d) $, e 4 é a largura total da distribuição.

Passo 5

Resolvendo a equação para $ d $:
d

Resposta

O valor de $ d $ é 1,9 mm.

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