Suponha que porcentagem de álcool em certo composto pode ser considerada uma v.a. X com a seguinte função de distribuição acumulada (onde k é uma constante positiva):
FX(x)=l 0, se x<0 5 x^4-4 x^5, se 0 <= x <= 1 1, se x>1
Qual a probabilidade de um composto aleatoriamente escolhido apresentar percentual de álcool superior a 70 % ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta fala sobre a porcentagem de álcool em um composto e quer saber qual a probabilidade de um composto escolhido ao acaso ter mais de 70% de álcool. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Função de Distribuição Acumulada (FDA) na área de Probabilidade e Estatística.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Função de Distribuição Acumulada (FDA). A FDA, representada por $ F_X(x) $, nos dá a probabilidade de que a variável aleatória $ X $ seja menor ou igual a um valor específico $ x $. No nosso caso, temos a FDA definida da seguinte maneira:
FX(x)
Isso significa que para valores de $ x $ entre 0 e 1, a FDA é $ 5x^4 - 4x^5 $.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de um composto ter mais de 70% de álcool, ou seja, $ P(X > 0.7) $. Sabemos que:
P(X > 0.7)
Então, substituindo $ a $ por 0.7:
P(X > a) = 1 - P(X <= a) = 1 - FX(a)

Passo 4

Agora, vamos calcular $ F_X(0.7) $ usando a função dada para $ 0 \leq x \leq 1 $:
FX(0.7)
Vamos calcular isso passo a passo:
Primeiro, calculamos $ (0.7)^4 $:
0 <= x <= 1
Depois, calculamos $ (0.7)^5 $:
FX(0.7) = 5 (0.7)^4 - 4 (0.7)^5
Agora, substituímos de volta na equação:
(0.7)^4

Passo 5

Finalmente, usamos o valor de $ F_X(0.7) $ para encontrar $ P(X > 0.7) $:
FX(0.7)

Resposta

A probabilidade de um composto aleatoriamente escolhido apresentar percentual de álcool superior a 70% é aproximadamente 47,18%.

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