Assuma que x=x(r, theta)=r sen theta e que y=y(r, theta)=r cos theta. Então a expressão
(partial xpartial theta)^2+(partial ypartial theta)^2+(partial xpartial r)^2+(partial ypartial r)^2
é igual a:
r^2+1

Passo 1

O enunciado define
x(r,theta)=rsintheta
e
y(r,theta)=rcostheta
e pede a soma dos quadrados das derivadas parciais
(partial xpartial theta)^2 + (partial ypartial theta)^2 + (partial xpartial r)^2 + (partial ypartial r)^2
Para isso, vamos calcular cada derivada parcial e em seguida somar os quadrados, usando a identidade trigonométrica sin^2theta+cos^2theta=1.

Passo 2

Derivando em relação a theta (com r constante):
partial xpartial theta =partialpartial theta(rsintheta) =rcostheta,
partial ypartial theta =partialpartial theta(rcostheta) =-,rsintheta

Passo 3

Derivando em relação a r (com theta constante):
partial xpartial r =partialpartial r(rsintheta) =sintheta,
partial ypartial r =partialpartial r(rcostheta) =costheta

Passo 4

Somando os quadrados e usando sin^2theta+cos^2theta=1:
l(rcosthetar)^2 + l(-rsinthetar)^2 + (sintheta)^2 + (costheta)^2 = r^2(cos^2theta+sin^2theta) + (sin^2theta+cos^2theta) = r^2 + 1

Resposta

O valor da expressão é r^2 + 1.

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