Assuma que x=x(r, theta)=r sen theta e que y=y(r, theta)=r cos theta. Então a expressão
(partial xpartial theta)^2+(partial ypartial theta)^2+(partial xpartial r)^2+(partial ypartial r)^2
é igual a:
r^2

Passo 1

O enunciado nos dá as funções de coordenadas polares trocadas
x(r,theta)=rsentheta, y(r,theta)=rcostheta
e pede para calcular
l(partial xpartial thetar)^2 +l(partial ypartial thetar)^2 +l(partial xpartial rr)^2 +l(partial ypartial rr)^2
Vamos usar derivação parcial e a identidade trigonométrica sen^2theta+cos^2theta=1.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais em relação a theta:
partial xpartial theta =partialpartial theta(rsentheta) =rcostheta, partial ypartial theta =partialpartial theta(rcostheta) =-rsentheta
Então
l(partial xpartial thetar)^2 +l(partial ypartial thetar)^2 =r^2cos^2theta+r^2sen^2theta =r^2,(cos^2theta+sen^2theta) =r^2

Passo 3

Calcular as derivadas parciais em relação a r:
partial xpartial r =partialpartial r(rsentheta) =sentheta, partial ypartial r =partialpartial r(rcostheta) =costheta
Logo
l(partial xpartial rr)^2 +l(partial ypartial rr)^2 =sen^2theta+cos^2theta =1

Passo 4

Somando os resultados de

Passo 5

underbracer^2parte theta +underbrace1parte r =r^2+1

Resposta

A expressão vale r^2+1.

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