Utilize o Teste da razão ou o Teste da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries infinitas! O enunciado pede para usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz para ver se a série
converge ou diverge, ou se o teste não dá uma resposta clara. Vamos precisar entender como funcionam esses testes e aplicá-los passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Raiz. Ele diz que, para uma série
, calculamos o limite
. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não conclui nada.
Passo 3
Agora, vamos identificar
na nossa série. Aqui,
. Precisamos calcular
.
Passo 4
Simplificando a expressão:
. Então, o limite que precisamos calcular é
.
Passo 5
Calculando o limite:
. Como 0 é menor que 1, pelo Teste da Raiz, a série converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Raiz, já que
.