Utilize o Teste da razão ou o Teste da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
sumn=1^+infty 1n^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries infinitas! O enunciado pede para usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz para ver se a série sumn=1^+infty 1n^n converge ou diverge, ou se o teste não dá uma resposta clara. Vamos precisar entender como funcionam esses testes e aplicá-los passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Raiz. Ele diz que, para uma série sum an, calculamos o limite limn to infty raiz[n]|an|. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não conclui nada.

Passo 3

Agora, vamos identificar an na nossa série. Aqui, an = 1n^n. Precisamos calcular raiz[n]|an| = raiz[n]1n^n.

Passo 4

Simplificando a expressão: raiz[n]1n^n = (1n^n)^1n = 1n. Então, o limite que precisamos calcular é limn to infty 1n.

Passo 5

Calculando o limite: limn to infty 1n = 0. Como 0 é menor que 1, pelo Teste da Raiz, a série converge.

Resposta

A série sumn=1^+infty 1n^n converge pelo Teste da Raiz, já que limn to infty raiz[n]1n^n = 0 < 1.

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