Determine e faça um esboço do gráfico de cada função real de duas variáveis reais abaixo: h(x, y)=raiz16-x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis
h(x,y)=raiz16 - x^2 - y^2
e pede para determinar seu domínio, reconhecer que superfície em R^3 ela descreve e fazer um esboço do gráfico. O conteúdo aqui é geometria de superfícies definidas por equações envolvendo raízes quadradas.

Passo 2

Para existir a raiz quadrada em
h(x,y)=raiz16 - x^2 - y^2
precisamos que o radicando seja não negativo, ou seja
16 - x^2 - y^2 >= 0 Long<=ftrightarrow x^2 + y^2 <= 16
Logo o domínio de h é o disco sólido de raio 4 no plano xy.

Passo 3

No gráfico, definimos z = h(x,y). Elevando ao quadrado, obtemos
z^2 = 16 - x^2 - y^2 Long<=ftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 = 16
Isso é a esfera de raio 4 centrada na origem. Como temos z = +raizcdots, escolhemos apenas a metade superior dessa esfera (hemisfério) onde z>=0.

Passo 4

Portanto, o gráfico de h é o hemisfério superior de raio 4. Seu “pé” repousa sobre o disco de raio 4 no plano z=0, e a “cúpula” sobe até o ponto máximo (0,0,4).

Passo 5

Esboço do gráfico:
  1. Desenhe o disco de raio 4 no plano z=0.
  2. Em seguida, represente as linhas de nível (círculos concêntricos) e uma meia-esfera iniciando em z=0 até z=4.
  3. Mostre que para cada ponto (x,y) com x^2+y^2=r^2<=16 temos z=raiz16-r^2.

Resposta

O domínio é (x,y)mid x^2+y^2<=16 e o gráfico de h é o hemisfério superior da esfera x^2+y^2+z^2=16 com z>=0, de raio 4.

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