Determine e faça um esboço do gráfico de cada função real de duas variáveis reais abaixo:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função de duas variáveis
e pede para determinar seu domínio, reconhecer que superfície em
ela descreve e fazer um esboço do gráfico. O conteúdo aqui é geometria de superfícies definidas por equações envolvendo raízes quadradas.
Passo 2
Para existir a raiz quadrada em
precisamos que o radicando seja não negativo, ou seja
Logo o domínio de
é o disco sólido de raio
no plano
.
Passo 3
No gráfico, definimos
. Elevando ao quadrado, obtemos
Isso é a esfera de raio
centrada na origem. Como temos
, escolhemos apenas a metade superior dessa esfera (hemisfério) onde
.
Passo 4
Portanto, o gráfico de
é o hemisfério superior de raio
. Seu “pé” repousa sobre o disco de raio
no plano
, e a “cúpula” sobe até o ponto máximo
.
Passo 5
Esboço do gráfico:
- Desenhe o disco de raio
no plano . - Em seguida, represente as linhas de nível (círculos concêntricos) e uma meia-esfera iniciando em
até . - Mostre que para cada ponto
com temos .
Resposta
O domínio é
e o gráfico de
é o hemisfério superior da esfera
com
, de raio
.