Assuma que x=x(r, theta)=r sen theta e que y=y(r, theta)=r cos theta. Então a expressão
(partial xpartial theta)^2+(partial ypartial theta)^2+(partial xpartial r)^2+(partial ypartial r)^2
é igual a:
r^2+(sen theta cos theta)^2

Passo 1

O enunciado nos dá as funções
x(r,theta)=rsentheta e y(r,theta)=rcostheta
e pede para calcular
l(partial xpartial thetar)^2 +l(partial ypartial thetar)^2 +l(partial xpartial rr)^2 +l(partial ypartial rr)^2
O conteúdo envolve derivadas parciais e uso da identidade trigonométrica sen^2theta+cos^2theta=1.

Passo 2

Calculemos primeiro as derivadas em relação a theta:
partial xpartial theta = partialpartial theta(rsentheta) = rcostheta, partial ypartial theta = partialpartial theta(rcostheta) = -,rsentheta
Elevando ao quadrado e somando, obtemos
l(partial xpartial thetar)^2 +l(partial ypartial thetar)^2 = r^2cos^2theta + r^2sen^2theta = r^2l(cos^2theta+sen^2thetar) = r^2

Passo 3

Agora as derivadas em relação a r:
partial xpartial r = partialpartial r(rsentheta) = sentheta, partial ypartial r = partialpartial r(rcostheta) = costheta
Elevando ao quadrado e somando, vem
l(partial xpartial rr)^2 +l(partial ypartial rr)^2 = sen^2theta + cos^2theta = 1

Passo 4

Somando os resultados dos passos anteriores, a expressão completa é
r^2 + 1

Resposta

r^2 + 1

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