Considere a função real de duas variáveis reais f dada por f(x, y)=raiz25-x^2-y^2. Faça um esboço do gráfico de f.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x,y)=raiz25 - x^2 - y^2
O conteúdo principal aqui é geometria de superfícies em R^3: vamos ver domínio, forma implícita e interpretar como uma superfície conhecida.

Passo 2

Para que a raiz seja real, precisamos de
25 - x^2 - y^2 >= 0,
logo o domínio é o disco
x^2 + y^2 <= 25
no plano xy.

Passo 3

Elevando ambos os lados ao quadrado, definimos a superfície implicitamente como
z^2 = 25 - x^2 - y^2
ou
x^2 + y^2 + z^2 = 25,
com a condição adicional z >= 0 (porque usamos a raiz positiva).

Passo 4

A equação
x^2 + y^2 + z^2 = 25, z>=0
é exatamente a metade superior da esfera de raio 5 centrada na origem. Suas seções por planos paralelos ao plano xy são círculos de raio raiz25 - z^2, e suas seções por planos que contêm o eixo z são semicircunferências.

Passo 5

Para esboçar:
  1. Desenhe os eixos x e y formando o plano horizontal e o eixo z vertical.
  2. Marque no plano xy um círculo de raio 5 (projeção do domínio).
  3. Sobre cada círculo de contorno, eleve verticalmente pontos de acordo com z=raiz25 - x^2 - y^2, formando arcos de circunferência que conectam a borda ao ponto (0,0,5).
  4. Trace linhas de contorno (curvas de nível) para alguns valores fixos de z: são círculos concêntricos.

Resposta

O gráfico de f é o hemisfério superior de raio 5 centrado na origem, isto é, a parte da esfera x^2+y^2+z^2=25 com z>=0.

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