Assuma que a expressão
e^x^5-y^3+z=1+4 x^4 y^2 z^3
define implicitamente z como função de x e y. Calcule partial zpartial x e partial zpartial y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação que relaciona x , y e z de forma que z depende de x e y . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de z em relação a x e a y , ou seja, partial zpartial x e partial zpartial y . Para isso, vamos usar o conceito de derivação implícita na matéria de Cálculo Multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
e^x^5 - y^3 + z = 1 + 4x^4y^2z^3
Como z é uma função de x e y , precisamos derivar ambos os lados da equação em relação a x e depois em relação a y , tratando z como uma função que também depende de x e y .

Passo 3

Vamos começar derivando ambos os lados da equação em relação a x . Lembre-se que ao derivar com respeito a x , y é considerada constante.
Derivando o lado esquerdo:
ddx(e^x^5 - y^3 + z) = e^x^5 - y^3 + z cdot (5x^4 + partial zpartial x)
Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de e^u em relação a x é e^u cdot dudx , onde u = x^5 - y^3 + z . Como z depende de x , sua derivada é partial zpartial x .

Passo 4

Derivando o lado direito:
ddx(1 + 4x^4y^2z^3) = 4y^2z^3 cdot ddx(x^4) + 4x^4y^2 cdot ddx(z^3)
Aplicamos a regra do produto aqui. A derivada de x^4 é 4x^3 e a derivada de z^3 em relação a x é 3z^2 cdot partial zpartial x (novamente usando a regra da cadeia).
Então, simplificando:
4y^2z^3 cdot 4x^3 + 4x^4y^2 cdot 3z^2 cdot partial zpartial x = 16x^3y^2z^3 + 12x^4y^2z^2 cdot partial zpartial x

Passo 5

Agora, igualamos as duas derivações:
e^x^5 - y^3 + z cdot (5x^4 + partial zpartial x) = 16x^3y^2z^3 + 12x^4y^2z^2 cdot partial zpartial x
Vamos isolar partial zpartial x :
e^x^5 - y^3 + z cdot 5x^4 + e^x^5 - y^3 + z cdot partial zpartial x = 16x^3y^2z^3 + 12x^4y^2z^2 cdot partial zpartial x
Movendo os termos que contêm partial zpartial x para um lado:
e^x^5 - y^3 + z cdot 5x^4 = 16x^3y^2z^3 + (12x^4y^2z^2 - e^x^5 - y^3 + z) cdot partial zpartial x

Passo 6

Agora, isolamos partial zpartial x :
partial zpartial x = e^x^5 - y^3 + z cdot 5x^4 - 16x^3y^2z^312x^4y^2z^2 - e^x^5 - y^3 + z

Passo 7

Agora, vamos fazer o mesmo processo para encontrar partial zpartial y . Derivando ambos os lados da equação original em relação a y :
Derivando o lado esquerdo:
ddy(e^x^5 - y^3 + z) = e^x^5 - y^3 + z cdot (-3y^2 + partial zpartial y)
Derivando o lado direito:
ddy(1 + 4x^4y^2z^3) = 4x^4 cdot 2y cdot z^3 + 4x^4y^2 cdot 3z^2 cdot partial zpartial y
Simplificando:
8x^4y z^3 + 12x^4y^2z^2 cdot partial zpartial y

Passo 8

Igualando as duas derivações:
e^x^5 - y^3 + z cdot (-3y^2 + partial zpartial y) = 8x^4y z^3 + 12x^4y^2z^2 cdot partial zpartial y
Isolando partial zpartial y :
-3y^2e^x^5 - y^3 + z + e^x^5 - y^3 + z cdot partial zpartial y = 8x^4y z^3 + 12x^4y^2z^2 cdot partial zpartial y
Movendo os termos com partial zpartial y para um lado:
-3y^2e^x^5 - y^3 + z = 8x^4y z^3 + (12x^4y^2z^2 - e^x^5 - y^3 + z) cdot partial zpartial y

Passo 9

Isolando partial zpartial y :
partial zpartial y = -3y^2e^x^5 - y^3 + z - 8x^4y z^312x^4y^2z^2 - e^x^5 - y^3 + z

Resposta

As derivadas parciais de z são:
partial zpartial x = 5x^4e^x^5 - y^3 + z - 16x^3y^2z^312x^4y^2z^2 - e^x^5 - y^3 + z
e
partial zpartial y = -3y^2e^x^5 - y^3 + z - 8x^4y z^312x^4y^2z^2 - e^x^5 - y^3 + z

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