Assuma que a expressão
define implicitamente
como função de
e
. Calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação que relaciona
,
e
de forma que
depende de
e
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
, ou seja,
e
. Para isso, vamos usar o conceito de derivação implícita na matéria de Cálculo Multivariável.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
Como
é uma função de
e
, precisamos derivar ambos os lados da equação em relação a
e depois em relação a
, tratando
como uma função que também depende de
e
.
Passo 3
Vamos começar derivando ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que ao derivar com respeito a
,
é considerada constante.
Derivando o lado esquerdo:
Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, onde
. Como
depende de
, sua derivada é
.
Passo 4
Derivando o lado direito:
Aplicamos a regra do produto aqui. A derivada de
é
e a derivada de
em relação a
é
(novamente usando a regra da cadeia).
Então, simplificando:
Passo 5
Agora, igualamos as duas derivações:
Vamos isolar
:
Movendo os termos que contêm
para um lado:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Passo 7
Agora, vamos fazer o mesmo processo para encontrar
. Derivando ambos os lados da equação original em relação a
:
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:
Simplificando:
Passo 8
Igualando as duas derivações:
Isolando
:
Movendo os termos com
para um lado:
Passo 9
Isolando
:
Resposta
As derivadas parciais de
são:
e