Calcule a derivada direcional da função
f(x, y)=e^x^2-x y+y^2
na direção (3,-3) no ponto (1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função f(x, y) = e^x^2 - x y + y^2 na direção do vetor (3, -3) no ponto (1, 0) . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e vetores direção.

Passo 2

Primeiro, precisamos transformar o vetor direção (3, -3) em um vetor unitário. Isso significa que queremos um vetor na mesma direção, mas com comprimento igual a 1. Para fazer isso, calculamos o comprimento (ou norma) do vetor e depois dividimos cada componente pelo comprimento.
A norma do vetor v = (3, -3) é:
|v| = raiz3^2 + (-3)^2 = raiz9 + 9 = raiz18 = 3raiz2
Então, o vetor unitário u na direção de v é:
u = ( 33raiz2, -33raiz2 ) = ( 1raiz2, -1raiz2 )

Passo 3

Agora, vamos encontrar o gradiente da função f(x, y) no ponto (1, 0) . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a x e y .
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x = f(x, y) cdot (2x - y)
partial fpartial y = f(x, y) cdot (-x + 2y)
No ponto (1, 0) :
f(1, 0) = e^1^2 - 1 cdot 0 + 0^2 = e^1 = e
partial fpartial xg|(1,0) = e cdot (2 cdot 1 - 0) = 2e
partial fpartial yg|(1,0) = e cdot (-1 + 2 cdot 0) = -e
Então, o gradiente de f no ponto (1, 0) é:
nabla f(1, 0) = (2e, -e)

Passo 4

Finalmente, para encontrar a derivada direcional, fazemos o produto escalar entre o gradiente nabla f(1, 0) e o vetor unitário u :
Du f(1, 0) = nabla f(1, 0) cdot u = (2e, -e) cdot ( 1raiz2, -1raiz2 )
Calculando o produto escalar:
Du f(1, 0) = 2e cdot 1raiz2 + (-e) cdot -1raiz2 = 2eraiz2 + eraiz2 = 3eraiz2

Resposta

A derivada direcional da função f(x, y) = e^x^2 - x y + y^2 na direção (3, -3) no ponto (1, 0) é 3eraiz2 .

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