Determine o plano tangente ao gráfico da função
f(x, y)=1raiz3 raiz33-4 x^2-9 y^2
no ponto P0=(2, 13, 4raiz3).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente ao gráfico de
f(x,y)=1raiz3raiz33-4x^2-9y^2
no ponto
P0=l(2,;tfrac13,;tfrac4raiz3r)
O conteúdo é derivadas parciais e a fórmula do plano tangente a uma superfície dada por z=f(x,y):
z - z0 = fx(x0,y0),(x-x0) + fy(x0,y0),(y-y0)

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais. Defina
h(x,y)=33-4x^2-9y^2, f(x,y)=1raiz3,h(x,y)^1/2
Pela regra da cadeia,
fx =1raiz3cdot12,h^-1/2cdotpartial hpartial x =1raiz3cdot12,h^-1/2cdot(-8x) =-4xraiz3,raizh(x,y),
fy =1raiz3cdot12,h^-1/2cdotpartial hpartial y =1raiz3cdot12,h^-1/2cdot(-18y) =-9yraiz3,raizh(x,y)

Passo 3

No ponto (x0,y0)=(2,tfrac13) temos
h(2,tfrac13)=33-4cdot2^2-9cdotl(tfrac13r)^2 =33-16-1=16,
raizh(2,tfrac13)=4, f(2,tfrac13)=1raiz3cdot4=4raiz3 (confirma (z0))
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fx(2,tfrac13) =-4cdot2raiz3cdot4 =-2raiz3, fy(2,tfrac13) =-9cdot13raiz3cdot4 =-34raiz3

Passo 4

Substituindo na fórmula do plano tangente:
z-4raiz3 =l(-2raiz3r),(x-2) +l(-34raiz3r),(y-tfrac13)

Passo 5

Podemos multiplicar toda a equação por raiz3 e reorganizar para uma forma mais limpa. Multiplicando por raiz3:
raiz3,z-4 =-2,(x-2)-tfrac34,(y-tfrac13)
Reunindo termos e voltando a uma forma linear geral:
8x+3y+4raiz3,z-33=0

Resposta

O plano tangente é
z-4raiz3 =-2raiz3(x-2) -34raiz3(y-tfrac13),
ou equivalentemente
8x+3y+4raiz3,z-33=0

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