Assuma que a expressão
/1,5 pts)
define implicitamente
como função de
e
. Calcule
e
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
onde
é definida implicitamente em função de
e
. As perguntas são: calcular
e
. Informações relevantes: a equação relaciona
,
e
; para obter as derivadas parciais de
devemos derivar ambos os lados da equação mantendo a variável apropriada constante (para
manter
constante, e para
manter
constante) e usar a regra da cadeia porque
depende de
e de
.
Passo 2
Estratégia para
: derivar a equação em relação a
, tratando
como constante. Vou usar a notação
Ao derivar termos que contêm
precisamos aplicar a regra da cadeia: se temos
então
. Vou aplicar também a regra do produto quando necessário.
Passo 3
Derivamos em relação a
o primeiro termo
. Pela regra da cadeia:
Agora calculamos a derivada do expoente:
é constante,
, e
pela regra da cadeia. Assim
Passo 4
Derivamos em relação a
o segundo termo
. Aqui
é constante, e o termo envolve produto de
e
. Usamos a regra do produto:
Aplicando a regra do produto em
:
Multiplicando por
obtemos
Passo 5
A derivada do lado direito
em relação a
é
. Somando as derivadas dos dois termos e igualando a zero:
Passo 6
Agrupamos os termos que contêm
e os que não contêm:
Isolando
:
Passo 7
Podemos simplificar fatorando
no numerador e no denominador. Fatorando e cancelando
(assumindo
, óbvio), obtemos a forma mais compacta
Passo 8
Agora calculamos
. Mesma ideia, derivamos a equação em relação a
mantendo
constante. Definimos
Usaremos regra da cadeia e do produto quando necessário.
Passo 9
Derivando o primeiro termo
em relação a
:
Aqui
(pois
é constante),
, e
. Logo
Passo 10
Derivando o segundo termo
em relação a
: agora
é constante, usamos produto em
:
Passo 11
Somando as derivadas e igualando a zero (derivada do lado direito
é
):
Agrupando os termos com
:
Isolando
:
Passo 12
Simplificando fator comum
no denominador como feito antes (escrevendo o denominador como
), obtemos a forma final mais compacta para
: