Assuma que a expressão \_\_\_\_ /1,5 pts)
e^{x^{2}+y+z^{2}}+2 x^{3} y z^{2}=1
define implicitamente z como função de x e y. Calcule \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 1

O enunciado dá a equação
e^{x^{2}+y+z^{2}}+2 x^{3} y z^{2}=1
onde z é definida implicitamente em função de x e y. As perguntas são: calcular \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}. Informações relevantes: a equação relaciona x, y e z; para obter as derivadas parciais de z devemos derivar ambos os lados da equação mantendo a variável apropriada constante (para \partial/\partial x manter y constante, e para \partial/\partial y manter x constante) e usar a regra da cadeia porque z depende de x e de y.

Passo 2

Estratégia para \frac{\partial z}{\partial x}: derivar a equação em relação a x, tratando y como constante. Vou usar a notação
z_x=\frac{\partial z}{\partial x}.
Ao derivar termos que contêm z precisamos aplicar a regra da cadeia: se temos g(z(x)) então \frac{d}{dx}g(z(x))=g'(z(x))\cdot z_x. Vou aplicar também a regra do produto quando necessário.

Passo 3

Derivamos em relação a x o primeiro termo e^{x^{2}+y+z^{2}}. Pela regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}e^{x^{2}+y+z^{2}} = e^{x^{2}+y+z^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}+y+z^{2}\big).
Agora calculamos a derivada do expoente: y é constante, \frac{\partial}{\partial x}x^{2}=2x, e \frac{\partial}{\partial x}z^{2}=2z\cdot z_x pela regra da cadeia. Assim
\frac{\partial}{\partial x}e^{x^{2}+y+z^{2}} = e^{x^{2}+y+z^{2}}\big(2x+2z\,z_x\big).

Passo 4

Derivamos em relação a x o segundo termo 2x^{3}y z^{2}. Aqui y é constante, e o termo envolve produto de x^{3} e z^{2}. Usamos a regra do produto:
\frac{\partial}{\partial x}\big(2x^{3}y z^{2}\big)=2y\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{3}z^{2}\big).
Aplicando a regra do produto em x^{3}z^{2}:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{3}z^{2}\big)=3x^{2}z^{2}+x^{3}\cdot 2z\,z_x.
Multiplicando por 2y obtemos
\frac{\partial}{\partial x}\big(2x^{3}y z^{2}\big)=2y\big(3x^{2}z^{2}+2x^{3}z\,z_x\big)=6x^{2}y z^{2}+4x^{3}y z\,z_x.

Passo 5

A derivada do lado direito 1 em relação a x é 0. Somando as derivadas dos dois termos e igualando a zero:
e^{x^{2}+y+z^{2}}\big(2x+2z\,z_x\big) + 6x^{2}y z^{2}+4x^{3}y z\,z_x = 0.

Passo 6

Agrupamos os termos que contêm z_x e os que não contêm:
\big(2z\,e^{x^{2}+y+z^{2}} + 4x^{3}y z\big)z_x + 2x\,e^{x^{2}+y+z^{2}} + 6x^{2}y z^{2} = 0.
Isolando z_x:
z_x = -\frac{2x\,e^{x^{2}+y+z^{2}} + 6x^{2}y z^{2}}{2z\,e^{x^{2}+y+z^{2}} + 4x^{3}y z}.

Passo 7

Podemos simplificar fatorando 2 no numerador e no denominador. Fatorando e cancelando 2 (assumindo 2\neq 0, óbvio), obtemos a forma mais compacta
z_x = -\frac{x\,e^{x^{2}+y+z^{2}} + 3x^{2}y z^{2}}{z\big(e^{x^{2}+y+z^{2}} + 2x^{3}y\big)}.

Passo 8

Agora calculamos \frac{\partial z}{\partial y}. Mesma ideia, derivamos a equação em relação a y mantendo x constante. Definimos
z_y=\frac{\partial z}{\partial y}.
Usaremos regra da cadeia e do produto quando necessário.

Passo 9

Derivando o primeiro termo e^{x^{2}+y+z^{2}} em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}e^{x^{2}+y+z^{2}} = e^{x^{2}+y+z^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}+y+z^{2}\big).
Aqui \frac{\partial}{\partial y}x^{2}=0 (pois x é constante), \frac{\partial}{\partial y}y=1, e \frac{\partial}{\partial y}z^{2}=2z\,z_y. Logo
\frac{\partial}{\partial y}e^{x^{2}+y+z^{2}} = e^{x^{2}+y+z^{2}}\big(1+2z\,z_y\big).

Passo 10

Derivando o segundo termo 2x^{3}y z^{2} em relação a y: agora x é constante, usamos produto em y\cdot z^{2}:
\frac{\partial}{\partial y}\big(2x^{3}y z^{2}\big)=2x^{3}\big(z^{2}+ y\cdot 2z\,z_y\big)=2x^{3}z^{2}+4x^{3}y z\,z_y.

Passo 11

Somando as derivadas e igualando a zero (derivada do lado direito 1 é 0):
e^{x^{2}+y+z^{2}}\big(1+2z\,z_y\big) + 2x^{3}z^{2}+4x^{3}y z\,z_y = 0.
Agrupando os termos com z_y:
\big(2z\,e^{x^{2}+y+z^{2}} + 4x^{3}y z\big)z_y + e^{x^{2}+y+z^{2}} + 2x^{3}z^{2} = 0.
Isolando z_y:
z_y = -\frac{e^{x^{2}+y+z^{2}} + 2x^{3}z^{2}}{2z\,e^{x^{2}+y+z^{2}} + 4x^{3}y z}.

Passo 12

Simplificando fator comum 2 no denominador como feito antes (escrevendo o denominador como 2z\big(e^{x^{2}+y+z^{2}}+2x^{3}y\big)), obtemos a forma final mais compacta para z_y:
z_y = -\frac{e^{x^{2}+y+z^{2}} + 2x^{3}z^{2}}{2z\big(e^{x^{2}+y+z^{2}}+2x^{3}y\big)}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x\,e^{x^{2}+y+z^{2}}+3x^{2}y z^{2}}{z\big(e^{x^{2}+y+z^{2}}+2x^{3}y\big)}
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{e^{x^{2}+y+z^{2}}+2x^{3}z^{2}}{2z\big(e^{x^{2}+y+z^{2}}+2x^{3}y\big)}

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