Assuma que f é contínua em [a, b], com a<0. Usando o Teorema Fundamental do Cálculo encontre f:[a, b] R dada pela equação:
tan (x)=integral0^x f(z) d z

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função contínua f:[a,b]to R que satisfaz tan(x)=integral0^x f(z),dz usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos usar que a<0 e que tan é diferenciável no intervalo considerado.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se definirmos F(x)=integral0^x f(z),dz, então F'(x)=f(x). Aqui nós sabemos que F(x)=tan(x), logo, para obter f(x) basta derivar tan(x). Usando a regra de derivação da tangente, temos que a derivada de tan(x) é sec^2(x). Portanto, concluímos que f(x) = sec^2(x).

Resposta

f(x)=\sec^2(x)

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