- Seja
e
um ponto interior de
. Considere as seguintes afirmações
(a)
é contínua em
.
(b)
é diferenciável em
.
(c)
existe para todo
.
(d) As derivadas parciais de
existem em uma vizinhança do ponto
e são contínuas em
.
(e)
.
(f)
.
Nos quadrados de posição
da tabela abaixo marque
(verdadeiro) se a afirmação da linha
sempre implica a afirmação da coluna
. Caso contrário marque
(falso).
(a)
(b)
(c)
(d) As derivadas parciais de
(e)
(f)
Passo 1
Vamos preencher uma tabela de implicações entre as afirmações
(a) é contínua em
(b) é diferenciável em
(c) existe para todo
(d) as derivadas parciais de existem numa vizinhança de
e são contínuas em
(e)
(f)
(a)
(b)
(c)
(d) as derivadas parciais de
(e)
(f)
Em cada linha
e coluna
, colocamos V se sempre que a afirmação
vale então também vale a afirmação
; caso contrário, F. Note que toda afirmação implica a si mesma (diagonal é V).
Passo 2
Regras gerais de implicação:
- (b)
(a) e (c): diferenciabilidade em implica continuidade em e existência de todas as derivadas direcionais em . - (d)
(b): derivadas parciais contínuas numa vizinhança implicam diferenciabilidade em , e daí (a) e (c). - (e)
(b): ter gradiente em significa que é diferenciável em , daí (a) e (c). - (f):
é contínua em mas não diferenciável em , e tampouco admite derivadas direcionais bilaterais nem parciais contínuas em .
Passo 3
Linha (a): “
contínua em
”
→ só implica ela mesma
V F F F F F
→ só implica ela mesma
V F F F F F
Passo 4
Linha (b): “
diferenciável em
”
→ implica (a) e (c), não implica (d),(e),(f)
V V V F F F
→ implica (a) e (c), não implica (d),(e),(f)
V V V F F F
Passo 5
Linha (c): “todas as
existem”
→ não garante continuidade, diferenciabilidade nem parciais em vizinhança, só implica ela mesma
F F V F F F
→ não garante continuidade, diferenciabilidade nem parciais em vizinhança, só implica ela mesma
F F V F F F
Passo 6
Linha (d): “parciais existem em vizinhança e são contínuas em
”
→ implica diferenciabilidade, daí (a),(b),(c)
V V V V F F
→ implica diferenciabilidade, daí (a),(b),(c)
V V V V F F
Passo 7
Linha (e): “
”
→ pressupõe diferenciabilidade em , daí (a),(b),(c)
V V V F V F
→ pressupõe diferenciabilidade em
V V V F V F
Passo 8
Linha (f): “
”
→ é contínua em , não diferenciável nem tem derivadas direcionais bilaterais ou parciais contínuas em
, só implica ela mesma e (a)
V F F F F V
→ é contínua em
V F F F F V
Resposta
A tabela de implicações é (linhas
colunas a,b,c,d,e,f):
V F F F F F
V V V F F F
F F V F F F
V V V V F F
V V V F V F
V F F F F V
V F F F F F
V V V F F F
F F V F F F
V V V V F F
V V V F V F
V F F F F V