1. Seja f: U \subset \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} e a \in \mathbb{R}^{n} um ponto interior de U. Considere as seguintes afirmações
    (a) f é contínua em a.
    (b) f é diferenciável em a.
    (c) D_{v} f(a) existe para todo v \in \mathbb{R}^{n}.
    (d) As derivadas parciais de a existem em uma vizinhança do ponto a e são contínuas em a.
    (e) \nabla f(a)=0.
    (f) f(x)=\|x-a\|, x \in \mathbb{R}^{n}.
Nos quadrados de posição (i, j) da tabela abaixo marque \mathbf{V} (verdadeiro) se a afirmação da linha i sempre implica a afirmação da coluna j. Caso contrário marque \mathbf{F} (falso).

Passo 1

Vamos preencher uma tabela de implicações entre as afirmações
(a) f é contínua em a
(b) f é diferenciável em a
(c) D_{v}f(a) existe para todo v\in\mathbb{R}^n
(d) as derivadas parciais de f existem numa vizinhança de a e são contínuas em a
(e) \nabla f(a)=0
(f) f(x)=\|x-a\|
Em cada linha i e coluna j, colocamos V se sempre que a afirmação i vale então também vale a afirmação j; caso contrário, F. Note que toda afirmação implica a si mesma (diagonal é V).

Passo 2

Regras gerais de implicação:
  • (b) \Rightarrow(a) e (c): diferenciabilidade em a implica continuidade em a e existência de todas as derivadas direcionais em a.
  • (d) \Rightarrow(b): derivadas parciais contínuas numa vizinhança implicam diferenciabilidade em a, e daí (a) e (c).
  • (e) \Rightarrow(b): ter gradiente em a significa que f é diferenciável em a, daí (a) e (c).
  • (f): f(x)=\|x-a\| é contínua em a mas não diferenciável em a, e tampouco admite derivadas direcionais bilaterais nem parciais contínuas em a.

Passo 3

Linha (a): “ f contínua em a
→ só implica ela mesma
V F F F F F

Passo 4

Linha (b): “ f diferenciável em a
→ implica (a) e (c), não implica (d),(e),(f)
V V V F F F

Passo 5

Linha (c): “todas as D_{v}f(a) existem”
→ não garante continuidade, diferenciabilidade nem parciais em vizinhança, só implica ela mesma
F F V F F F

Passo 6

Linha (d): “parciais existem em vizinhança e são contínuas em a
→ implica diferenciabilidade, daí (a),(b),(c)
V V V V F F

Passo 7

Linha (e): “ \nabla f(a)=0
→ pressupõe diferenciabilidade em a, daí (a),(b),(c)
V V V F V F

Passo 8

Linha (f): “ f(x)=\|x-a\|
→ é contínua em a, não diferenciável nem tem derivadas direcionais bilaterais ou parciais contínuas em a, só implica ela mesma e (a)
V F F F F V

Resposta

A tabela de implicações é (linhas \to colunas a,b,c,d,e,f):
V F F F F F
V V V F F F
F F V F F F
V V V V F F
V V V F V F
V F F F F V

Exercícios relacionados