1. Suponha que D_{v} f(x)=0 para todo x em uma bola B(a) e todo v \in \mathbb{R}^{n}. Use o teorema do valor médio para provar que f é constante em B(a).
  2. Um conjunto S \subset \mathbb{R}^{n} é dito convexo se para todo a, b \in S tivermos que o segmento de reta que tem extremidade em a, b também estiver em S, isto é, se tivermos t a+(1-t) b \in S para todo 0 \leq t \leq 1.
    a) Mostre que toda bola é convexa.
    b) Se D_{v} f(x)=0 para todo x em um conjunto convexo S e todo v \in \mathbb{R}^{n}, mostre que f é constante em S.

Passo 1

O enunciado é sobre funções diferenciáveis em \mathbb{R}^n e derivadas direcionais. Em (10) temos que
D_{v}f(x)=0
para todo x em uma bola B(a) e todo v\in\mathbb{R}^n, e queremos usar o Teorema do Valor Médio para provar que f é constante em B(a). Em (11) define-se convexidade de um conjunto S\subset\mathbb{R}^n via
t\,a+(1-t)\,b\in S\quad\forall a,b\in S,\;0\le t\le1.
Em (11a) mostramos que toda bola é convexa; em (11b) sob a mesma hipótese de derivadas direcionais nulas em um conjunto convexo S, provamos que f é constante em S.

Passo 2

Mostramos que qualquer bola
B(a,r)=\{x\in\mathbb{R}^n:\|x-a\|<r\}
é convexa. Tomemos x,y\in B(a,r) e t\in[0,1]. Então
\|t x+(1-t)y - a\| = \|\,t(x-a)+(1-t)(y-a)\| \le t\|x-a\|+(1-t)\|y-a\| < t\,r+(1-t)\,r=r.
Logo t x+(1-t)y\in B(a,r), provando a convexidade.

Passo 3

Resolvendo (10): sejam x,y\in B(a). Como B(a) é convexo, o segmento
\gamma(t)=x+t(y-x),\quad t\in[0,1],
fica todo em B(a). Definimos
g(t)=f(\gamma(t))=f\bigl(x+t(y-x)\bigr).
Pelo Teorema do Valor Médio unidimensional existe \xi\in(0,1) tal que
g'(\xi)=\frac{g(1)-g(0)}{1-0}=f(y)-f(x).
Por cálculo de derivada direcional,
g'(t)=D_{\gamma'(t)}f(\gamma(t)) =D_{y-x}f\bigl(x+t(y-x)\bigr).
Em particular g'(\xi)=0 pela hipótese de (10). Logo f(y)-f(x)=0, isto é, f(y)=f(x). Como x,y eram arbitrários em B(a), f é constante em B(a).

Passo 4

Resolvendo (11b): seja S\subset\mathbb{R}^n convexo e suponha D_vf(x)=0 para todo x\in S e todo v. Dados x,y\in S, o segmento
\gamma(t)=x+t(y-x)
fica em S. De novo g(t)=f(\gamma(t)) satisfaz g'(\xi)=D_{y-x}f(\gamma(\xi))=0, de onde f(y)=f(x). Assim f é constante em S.

Resposta

  1. f é constante em B(a).
    11a. Toda bola B(a,r) é convexa.
    11b. Se D_{v}f(x)=0 para todo x\in S convexo e todo v, então f é constante em S.

Exercícios relacionados