Assuma que as funções elementares (polinomios, funções trigonometricas, exponencial, logaritmo, etc) são funções contínuas. Analise se as seguintes funções assumem valor máximo ou mínimo (justifique sua afirmação).
f(x)=\sin (1 / x).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função \displaystyle f(x)=\sin\bigl(\tfrac1x\bigr)
definida em \mathbb{R}\setminus\{0\} assume valor máximo e valor mínimo. Vamos usar que \sin é limitada em [-1,1] e depois buscar pontos que realizem \sin(1/x)=1 e \sin(1/x)=-1.

Passo 2

Como para todo t temos
-1 \;\le\;\sin(t)\;\le\;1,
segue
-1 \;\le\;\sin\bigl(\tfrac1x\bigr)\;\le\;1
para todo x\neq0. Portanto
\sup f = 1 \quad\text{e}\quad \inf f = -1.

Passo 3

Para verificar se \sup f=1 é atingido, resolvemos
\sin\bigl(\tfrac1x\bigr)=1.
Isso ocorre se e somente se
\tfrac1x = \frac\pi2 + 2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}.
Logo os pontos
x_k = \frac{1}{\displaystyle \frac\pi2 + 2k\pi}
são todos não nulos e satisfazem f(x_k)=1. Assim f atinge o valor máximo 1.

Passo 4

De modo análogo, para ver se \inf f=-1 é atingido, resolvemos
\sin\bigl(\tfrac1x\bigr)=-1,
o que dá
\tfrac1x = \frac{3\pi}2 + 2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z},
e define os pontos
y_k = \frac{1}{\displaystyle \frac{3\pi}2 + 2k\pi},
onde f(y_k)=-1. Portanto f atinge o valor mínimo -1.

Resposta

A função f(x)=\sin(1/x) em \mathbb{R}\setminus\{0\} assume máximo igual a 1 e mínimo igual a -1.

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