Uma função
é dita Lipschitziana se é possível encontrar
tal que
para todo
em
. Mostre os seguintes afirmações
(a) Se
for lipschitziana então é contínua
(b) Se
for um intervalo limitado e
duas funções lipschitzianas, mostre que
também é lipchitziana.
(c) Mostre que o item anterior falha se o intervalo
não for limitado.
(a) Se
(b) Se
(c) Mostre que o item anterior falha se o intervalo
Passo 1
O enunciado define
Lipschitziana em
se existe
tal que
Queremos mostrar:
(a) toda função Lipschitziana é contínua;
(b) em intervalo limitado , se
e
são Lipschitzianas então
é Lipschitziana;
(c) esse resultado de (b) falha se for não limitado.
(a) toda função Lipschitziana é contínua;
(b) em intervalo limitado
(c) esse resultado de (b) falha se
Passo 2
Para (a), seja
Lipschitziana com constante
. Dada
tomamos
Então, se
temos
Logo
é uniformemente contínua e, em particular, contínua em todo ponto de
.
Passo 3
Agora (b). Seja
um intervalo limitado e
Lipschitzianas. Anote
e
suas constantes de Lipschitz.
Passo 4
Mostramos primeiro que
e
são limitadas em
. Escolha um ponto fixo
. Como
é limitado, sua diâmetro
é finito. Então, para todo
,
Defina
e de forma análoga
Então
e
para todo
.
Passo 5
Para ver que
é Lipschitziana, note
Pelo triângulo e pelas estimativas acima,
Logo
é Lipschitziana em
com constante
.
Passo 6
Para (c), tomemos
e as funções
Elas são Lipschitzianas em
(basta
). Mas
não é Lipschitziana em
, pois se fosse haveria
tal que
para todo
, isto é,
o que é impossível já que
pode crescer sem limite.
Resposta
(a) Toda função Lipschitziana é contínua.
(b) Em intervalo limitado, o produto de duas funções Lipschitzianas é Lipschitziano.
(c) Em intervalo não limitado isso pode falhar, por exemplo em
dão
, que não é Lipschitziana.
(b) Em intervalo limitado, o produto de duas funções Lipschitzianas é Lipschitziano.
(c) Em intervalo não limitado isso pode falhar, por exemplo