Uma função f: I \rightarrow \mathbb{R} é dita Lipschitziana se é possível encontrar M>0 tal que |f(x)-f(y)| \leq M|x-y| para todo x, y em I. Mostre os seguintes afirmações
(a) Se f: I \rightarrow \mathbb{R} for lipschitziana então é contínua
(b) Se I for um intervalo limitado e f: I \rightarrow \mathbb{R}, g: I \rightarrow \mathbb{R} duas funções lipschitzianas, mostre que f g também é lipchitziana.
(c) Mostre que o item anterior falha se o intervalo I não for limitado.

Passo 1

O enunciado define f Lipschitziana em I se existe M>0 tal que
|f(x)-f(y)| \le M|x-y|\quad\forall x,y\in I.
Queremos mostrar:
(a) toda função Lipschitziana é contínua;
(b) em intervalo limitado I, se f e g são Lipschitzianas então fg é Lipschitziana;
(c) esse resultado de (b) falha se I for não limitado.

Passo 2

Para (a), seja f Lipschitziana com constante M. Dada \varepsilon>0 tomamos
\delta = \frac{\varepsilon}{M}.
Então, se |x-y|<\delta temos
|f(x)-f(y)| \le M|x-y| < M\delta = \varepsilon.
Logo f é uniformemente contínua e, em particular, contínua em todo ponto de I.

Passo 3

Agora (b). Seja I um intervalo limitado e f, g\colon I\to\mathbb{R} Lipschitzianas. Anote L_f e L_g suas constantes de Lipschitz.

Passo 4

Mostramos primeiro que f e g são limitadas em I. Escolha um ponto fixo x_0\in I. Como I é limitado, sua diâmetro
\operatorname{diam}(I)=\sup\{|x-y|:x,y\in I\}
é finito. Então, para todo x\in I,
|f(x)| = |f(x)-f(x_0)+f(x_0)| \le |f(x_0)| + L_f\,|x-x_0| \le |f(x_0)| + L_f\,\operatorname{diam}(I).
Defina
N_f = |f(x_0)| + L_f\,\operatorname{diam}(I),
e de forma análoga
N_g = |g(x_0)| + L_g\,\operatorname{diam}(I).
Então |f(x)|\le N_f e |g(x)|\le N_g para todo x\in I.

Passo 5

Para ver que fg é Lipschitziana, note
|f(x)g(x) - f(y)g(y)| = |f(x)\bigl(g(x)-g(y)\bigr) + g(y)\bigl(f(x)-f(y)\bigr)|.
Pelo triângulo e pelas estimativas acima,
|f(x)g(x)-f(y)g(y)| \le |f(x)|\,L_g\,|x-y| + |g(y)|\,L_f\,|x-y| \le (N_f L_g + N_g L_f)\,|x-y|.
Logo fg é Lipschitziana em I com constante M = N_f L_g + N_g L_f.

Passo 6

Para (c), tomemos I=\mathbb{R} e as funções
f(x)=x,\quad g(x)=x.
Elas são Lipschitzianas em \mathbb{R} (basta M=1). Mas
f(x)g(x)=x^2
não é Lipschitziana em \mathbb{R}, pois se fosse haveria M'>0 tal que \displaystyle |x^2-y^2|\le M'|x-y| para todo x,y, isto é,
|x+y|\le M'\quad\forall x,y\in\mathbb{R},
o que é impossível já que x+y pode crescer sem limite.

Resposta

(a) Toda função Lipschitziana é contínua.
(b) Em intervalo limitado, o produto de duas funções Lipschitzianas é Lipschitziano.
(c) Em intervalo não limitado isso pode falhar, por exemplo f(x)=g(x)=x em \mathbb{R} dão fg(x)=x^2, que não é Lipschitziana.

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