Assuma que as funções elementares (polinomios, funções trigonometricas, exponencial, logaritmo, etc) são funções contínuas. Analise se as seguintes funções assumem valor máximo ou mínimo (justifique sua afirmação).
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
, definida em todo
, atinge valor máximo ou mínimo. Vamos usar o Teorema do Valor Extremo e o comportamento de
em
.
Passo 2
O domínio de
é
, que não é um conjunto fechado e limitado. Logo, mesmo sendo contínua, o Teorema do Valor Extremo não garante que
tenha extremos globais.
Passo 3
Analisamos os limites nos extremos do domínio:
Passo 4
Verificamos que esses valores não são atingidos. Se existisse
tal que
, então
, que não existe. O mesmo vale para
.
Passo 5
Como
é estritamente crescente em
, seu infimum é
e seu supremum é
, mas nenhum desses valores é alcançado.
Resposta
A função
não assume valor máximo nem valor mínimo em
.