Assuma que as funções elementares (polinomios, funções trigonometricas, exponencial, logaritmo, etc) são funções contínuas. Analise se as seguintes funções assumem valor máximo ou mínimo (justifique sua afirmação).
f(x)=\arctan (x).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f(x)=\arctan(x), definida em todo \mathbb{R}, atinge valor máximo ou mínimo. Vamos usar o Teorema do Valor Extremo e o comportamento de f em \pm\infty.

Passo 2

O domínio de f é \mathbb{R}, que não é um conjunto fechado e limitado. Logo, mesmo sendo contínua, o Teorema do Valor Extremo não garante que f tenha extremos globais.

Passo 3

Analisamos os limites nos extremos do domínio:
\lim_{x\to+\infty}\arctan(x)=\frac{\pi}{2},
\lim_{x\to-\infty}\arctan(x)=-\frac{\pi}{2}.

Passo 4

Verificamos que esses valores não são atingidos. Se existisse x tal que \arctan(x)=\tfrac{\pi}{2}, então x=\tan\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr), que não existe. O mesmo vale para -\tfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Como \arctan(x) é estritamente crescente em \mathbb{R}, seu infimum é -\tfrac{\pi}{2} e seu supremum é \tfrac{\pi}{2}, mas nenhum desses valores é alcançado.

Resposta

A função f(x)=\arctan(x) não assume valor máximo nem valor mínimo em \mathbb{R}.

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