Assuma que as funções elementares (polinomios, funções trigonometricas, exponencial, logaritmo, etc) são funções contínuas. Analise se as seguintes funções assumem valor máximo ou mínimo (justifique sua afirmação).
f(x)=1 / \ln (x), \quad x \in] 0, e].

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=\frac{1}{\ln(x)},\quad x\in\bigl]0,e\bigr]
assume valor máximo ou mínimo nesse intervalo. O conteúdo envolvido é o estudo de extremos de funções contínuas em conjuntos não compactos.

Passo 2

Note que \ln(x)=0 em x=1, logo f não está definida em x=1. Portanto o domínio é a união dos intervalos
(0,1)\quad\text{e}\quad(1,e],
em cada um dos quais f é contínua e monotônica (pois \ln(x) é estritamente crescente).

Passo 3

Em (1,e], temos 0<\ln(x)\le1. À medida que x cresce de 1 a e, \ln(x) cresce de 0^+ a 1, de modo que
f(x)=\frac{1}{\ln(x)}
decresce de +\infty (quando x\to1^+) até
f(e)=\frac{1}{\ln(e)}=1.
Logo, nesse trecho f não tem valor máximo (tende a +\infty), mas atinge valor mínimo igual a 1 em x=e.

Passo 4

Em (0,1), temos \ln(x)<0 e \ln(x) cresce de -\infty (quando x\to0^+) até 0^- (quando x\to1^-). Assim
f(x)=\frac{1}{\ln(x)}
decresce de 0^- (quando x\to0^+) até -\infty (quando x\to1^-). Portanto, nesse trecho não há valor máximo (supremum =0, não atingido) nem valor mínimo (tende a -\infty).

Passo 5

Para o domínio completo \bigl]0,e\bigr], combinando ambos os trechos, vemos que:
  • f não tem valor máximo (atingiria +\infty junto a x\to1^+).
  • f não tem valor mínimo global (vai a -\infty junto a x\to1^-).

Resposta

A função não assume nem valor máximo nem valor mínimo em \bigl]0,e\bigr].

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