Assuma que as funções elementares (polinomios, funções trigonometricas, exponencial, logaritmo, etc) são funções contínuas. Analise se as seguintes funções assumem valor máximo ou mínimo (justifique sua afirmação).
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
assume valor máximo ou mínimo nesse intervalo. O conteúdo envolvido é o estudo de extremos de funções contínuas em conjuntos não compactos.
Passo 2
Note que
em
, logo
não está definida em
. Portanto o domínio é a união dos intervalos
em cada um dos quais
é contínua e monotônica (pois
é estritamente crescente).
Passo 3
Em
, temos
. À medida que
cresce de
a
,
cresce de
a
, de modo que
decresce de
(quando
) até
Logo, nesse trecho
não tem valor máximo (tende a
), mas atinge valor mínimo igual a
em
.
Passo 4
Em
, temos
e
cresce de
(quando
) até
(quando
). Assim
decresce de
(quando
) até
(quando
). Portanto, nesse trecho não há valor máximo (supremum
, não atingido) nem valor mínimo (tende a
).
Passo 5
Para o domínio completo
, combinando ambos os trechos, vemos que:
-
não tem valor máximo (atingiria junto a ). -
não tem valor mínimo global (vai a junto a ).
Resposta
A função não assume nem valor máximo nem valor mínimo em
.