Sejam f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} funções contínuas em x_{0}. mostre os seguintes itens
Se f\left(x_{0}\right)<x_{0} então existe \delta>0 tal que f(x)<x para todo \left.x \in\right] x_{0}-\delta, x_{0}+\delta[.

Passo 1

O enunciado afirma que f é contínua em x_{0} e que
f(x_{0})<x_{0}.
Queremos mostrar que existe \delta>0 tal que
f(x)<x \quad\text{para todo}\quad x\in\bigl]x_{0}-\delta,\;x_{0}+\delta\bigr[.
O conteúdo principal é usar a definição de continuidade em x_{0}.

Passo 2

Definimos a função auxiliar
h(x)=f(x)-x.
Como f e a função identidade x\mapsto x são contínuas em x_{0}, segue que h também é contínua em x_{0}.

Passo 3

Calculamos o valor de h em x_{0}:
h(x_{0})=f(x_{0})-x_{0}.
Pelo enunciado, f(x_{0})<x_{0}, logo existe a>0 tal que
x_{0}-f(x_{0})=a \quad\Longrightarrow\quad h(x_{0})=-a<0.

Passo 4

Pela continuidade de h em x_{0}, dado \varepsilon=a>0 existe \delta>0 tal que
|x - x_{0}|<\delta \quad\Longrightarrow\quad \bigl|h(x)-h(x_{0})\bigr|<a.
Em particular isso implica
h(x)-h(x_{0})<a \quad\Longrightarrow\quad h(x)<h(x_{0})+a=-a+a=0.
Portanto, para todo x em \bigl]x_{0}-\delta,\;x_{0}+\delta\bigr[ vale
h(x)=f(x)-x<0 \quad\Longrightarrow\quad f(x)<x.

Resposta

Existe \delta>0 tal que, sempre que x\in\bigl]x_{0}-\delta,\;x_{0}+\delta\bigr[, temos f(x)<x.

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