Seja f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua tal que f(x)>0 para todo x \in[a, b], mostre que existe \delta>0 tal que f(x)>\delta para todo x \in[a, b].

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função contínua f:[a,b]\to\mathbb{R} e que f(x)>0 para todo x\in[a,b]. O que precisamos mostrar é que existe uma constante \delta>0 tal que
f(x)>\delta\quad\text{para todo }x\in[a,b].
Para isso vamos usar o Teorema do Valor Extremo, que garante que uma função contínua em um intervalo fechado e limitado atinge seu mínimo.

Passo 2

Como f é contínua em [a,b], que é um conjunto compacto, o Teorema do Valor Extremo nos dá um ponto c\in[a,b] em que f atinge seu valor mínimo. Definimos
m \;=\;\min_{x\in[a,b]}f(x)\;=\;f\text{(c)}.
Pela hipótese f(x)>0 para todo x, segue que
m=f\text{(c)}>0.

Passo 3

Escolhemos
\delta = \frac{m}{2}.
Como m>0, temos \delta>0. Além disso, para todo x\in[a,b] vale
f(x)\;\ge\;m \;=\;2\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)> \delta.

Resposta

Basta tomar
\delta = \frac{1}{2}\min_{x\in[a,b]}f(x)>0,
pois assim garante-se f(x)>\delta para todo x\in[a,b].

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