Seja
uma função contínua tal que
para todo
, mostre que existe
tal que
para todo
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função contínua
e que
para todo
. O que precisamos mostrar é que existe uma constante
tal que
Para isso vamos usar o Teorema do Valor Extremo, que garante que uma função contínua em um intervalo fechado e limitado atinge seu mínimo.
Passo 2
Como
é contínua em
, que é um conjunto compacto, o Teorema do Valor Extremo nos dá um ponto
em que
atinge seu valor mínimo. Definimos
Pela hipótese
para todo
, segue que
Passo 3
Escolhemos
Como
, temos
. Além disso, para todo
vale
Resposta
Basta tomar
pois assim garante-se
para todo
.