Considere o polinômio real p(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1} n+\cdots+a_{0} onde a_{n}>0.
(a) Se n \geq 1, mostre que \lim _{x \rightarrow \infty} p(x)=\infty.
(b) Se p é de grau ímpar, mostre que p tem uma raiz real, isto é, existe x_{0} \in \mathbb{R} tal que p\left(x_{0}\right)=0.

Passo 1

O enunciado considera o polinômio
p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0},
com a_{n}>0. Na parte (a) queremos mostrar que
\lim_{x\to\infty}p(x)=\infty,
usando análise de termo dominante. Na parte (b) supondo n ímpar, queremos provar a existência de raiz real aplicando o Teorema do Valor Intermediário e continuidade de polinômios.

Passo 2

Para (a), fatoramos x^{n} em p(x):
p(x) = a_{n}x^{n}\Bigl(1+\tfrac{a_{n-1}}{a_{n}}x^{-1}+\cdots+\tfrac{a_{0}}{a_{n}}x^{-n}\Bigr).
Quando x\to\infty, cada x^{-k}\to0, logo
1+\tfrac{a_{n-1}}{a_{n}}x^{-1}+\cdots+\tfrac{a_{0}}{a_{n}}x^{-n}\;\longrightarrow\;1.
Como a_{n}x^{n}\to\infty (pois a_{n}>0 e n\ge1), concluímos
\lim_{x\to\infty}p(x) =\lim_{x\to\infty}a_{n}x^{n}\cdot1 =\infty.

Passo 3

Para (b), se n é ímpar, o mesmo fatoramento mostra que
\lim_{x\to-\infty}p(x) =\lim_{x\to-\infty}a_{n}x^{n}\cdot1 =-\infty,
pois x^{n}<0 para x\to-\infty quando n é ímpar, e \lim_{x\to\infty}p(x)=\infty já foi visto.

Passo 4

Os polinômios são funções contínuas em \mathbb{R}. Como para algum X>0 temos
p(-X)<0<p(X),
o Teorema do Valor Intermediário garante que existe x_{0}\in(-X,X) tal que
p(x_{0})=0.

Resposta

(a) \displaystyle \lim_{x\to\infty}p(x)=\infty.
(b) Se \deg p é ímpar, então existe x_{0}\in\mathbb{R} com p(x_{0})=0 por aplicação do Teorema do Valor Intermediário.

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