Considere o polinômio real
onde
.
(a) Se
, mostre que
.
(b) Se
é de grau ímpar, mostre que
tem uma raiz real, isto é, existe
tal que
.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
O enunciado considera o polinômio
com
. Na parte (a) queremos mostrar que
usando análise de termo dominante. Na parte (b) supondo
ímpar, queremos provar a existência de raiz real aplicando o Teorema do Valor Intermediário e continuidade de polinômios.
Passo 2
Para (a), fatoramos
em
:
Quando
, cada
, logo
Como
(pois
e
), concluímos
Passo 3
Para (b), se
é ímpar, o mesmo fatoramento mostra que
pois
para
quando
é ímpar, e
já foi visto.
Passo 4
Os polinômios são funções contínuas em
. Como para algum
temos
o Teorema do Valor Intermediário garante que existe
tal que
Resposta
(a)
(b) Se é ímpar, então existe
com
por aplicação do Teorema do Valor Intermediário.
(b) Se