Assuma . Mostre que a equação A x=b não tem solução para todo os b possíveis e descreva o conjunto de todos os b para os quais A x=b tem solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz A = 3 & -1 -9 & 3 e um vetor b = b1 b2 . A pergunta é para mostrar que a equação A x = b nem sempre tem solução para qualquer b que a gente escolher, e também para descrever quais vetores b realmente têm solução para essa equação. Vamos usar conceitos de sistemas lineares e matrizes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a equação A x = b . Aqui, A é uma matriz que multiplica o vetor x e resulta no vetor b . Nosso objetivo é ver se conseguimos encontrar algum vetor x que satisfaça essa equação para um dado b .
Passo 3
Para descobrir se a equação tem solução para todo b , precisamos verificar se a matriz A é invertível, ou seja, se ela tem uma inversa. Uma matriz quadrada tem inversa se e somente se seu determinante for diferente de zero.
Passo 4
Vamos calcular o determinante de A . O determinante de uma matriz 2 times 2 a & b c & d é dado por ad - bc .
Para nossa matriz A :
det(A) = (3)(3) - (-1)(-9) = 9 - 9 = 0
Passo 5
Como o determinante de A é zero, isso significa que A não é invertível. Portanto, a equação A x = b não tem solução única para todo b . Ou seja, pode haver alguns b para os quais a equação não tem solução.
Passo 6
Agora, vamos determinar quais vetores b permitem que a equação A x = b tenha solução. Isso acontece quando b está no conjunto coluna da matriz A , ou seja, quando b pode ser escrito como uma combinação linear das colunas de A .
Passo 7
As colunas de A são 3 -9 e -1 3 . Observando essas colunas, percebemos que a segunda coluna é igual a -13 vezes a primeira coluna:
-1 3 = -13 3 -9
Isso significa que as duas colunas são linearmente dependentes, ou seja, apenas uma delas é necessária para gerar todas as combinações possíveis no conjunto coluna.
Passo 8
Assim, b terá solução na equação A x = b se e somente se b for múltiplo da coluna 3 -9 . Em outras palavras, existe um escalar k tal que:
b = k 3 -9
Isso significa que:
b1 = 3k e b2 = -9k
Resposta
A equação A x = b não tem solução para todo b , mas tem solução exatamente quando b é múltiplo de 3 -9 . Ou seja, b = k 3 -9 para algum número real k .