Seja A=[cccc1 & -3 & 5 & -5 0 & 1 & -3 & 5 2 & -4 & 4 & -4]. Se b=[c-1 1 0], então b está na imagem da transformação linear x mapsto A x ? Justifique.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma matriz A e um vetor b . A questão pergunta se b está na imagem da transformação linear definida por A . Basicamente, isso significa que precisamos verificar se existe um vetor x tal que Ax = b . Para isso, vamos resolver o sistema de equações dado por essa igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que vem de Ax = b . A matriz A é:
A = 1 & -3 & 5 & -5 0 & 1 & -3 & 5 2 & -4 & 4 & -4
E o vetor b é:
b = -1 1 0
Então, o sistema fica:
1x1 - 3x2 + 5x3 - 5x4 = -1 0x1 + 1x2 - 3x3 + 5x4 = 1 2x1 - 4x2 + 4x3 - 4x4 = 0

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz aumentada desse sistema, que é a matriz A acompanhada pelo vetor b :
[cccc|c 1 & -3 & 5 & -5 & -1 0 & 1 & -3 & 5 & 1 2 & -4 & 4 & -4 & 0 ]
Nosso objetivo é simplificar essa matriz para descobrir se o sistema tem solução.

Passo 4

Vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar a matriz. Primeiro, observamos que a primeira linha já tem um 1 como primeiro elemento, o que facilita. Vamos eliminar o 2x1 da terceira linha.
Para isso, multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da terceira linha:
R3 = R3 - 2R1
Calculando:
R3 = 2 & -4 & 4 & -4 & 0 - 2 times 1 & -3 & 5 & -5 & -1 = 0 & 2 & -6 & 6 & 2
Então, a matriz fica:
[cccc|c 1 & -3 & 5 & -5 & -1 0 & 1 & -3 & 5 & 1 0 & 2 & -6 & 6 & 2 ]

Passo 5

Agora, vamos simplificar a terceira linha. Note que a terceira linha é 2 vezes a segunda linha. Vamos subtrair 2 vezes a segunda linha da terceira linha para eliminar os termos:
R3 = R3 - 2R2
Calculando:
R3 = 0 & 2 & -6 & 6 & 2 - 2 times 0 & 1 & -3 & 5 & 1 = 0 & 0 & 0 & -4 & 0
A matriz agora fica:
[cccc|c 1 & -3 & 5 & -5 & -1 0 & 1 & -3 & 5 & 1 0 & 0 & 0 & -4 & 0 ]

Passo 6

Vamos interpretar a terceira linha da matriz. Ela nos dá a equação:
-4x4 = 0
Resolvendo para x4 :
x4 = 0
Agora que sabemos que x4 = 0 , podemos substituir esse valor nas outras equações para encontrar x2 e x1 .

Passo 7

Substituindo x4 = 0 na segunda equação da matriz aumentada:
0x1 + 1x2 - 3x3 + 5x4 = 1 Rightarrow x2 - 3x3 = 1
Podemos resolver para x2 :
x2 = 1 + 3x3
Aqui, x3 é um parâmetro livre, ou seja, pode ser qualquer número real.

Passo 8

Agora, substituímos x2 = 1 + 3x3 e x4 = 0 na primeira equação da matriz aumentada:
1x1 - 3x2 + 5x3 - 5x4 = -1 Rightarrow x1 - 3(1 + 3x3) + 5x3 = -1 Rightarrow x1 - 3 - 9x3 + 5x3 = -1 Rightarrow x1 - 4x3 = 2
Resolvendo para x1 :
x1 = 2 + 4x3

Passo 9

Então, temos as soluções para as variáveis:
x1 = 2 + 4x3 x2 = 1 + 3x3 x4 = 0
E x3 pode ser qualquer número real. Isso significa que existe pelo menos uma solução para o sistema, ou seja, b está na imagem da transformação linear definida por A .

Resposta

Sim, o vetor b está na imagem da transformação linear x mapsto A x , pois existe uma solução para o sistema Ax = b .

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