Seja . Se b=[c-1 1 0], então b está na imagem da transformação linear x mapsto A x ? Justifique.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma matriz A e um vetor b . A questão pergunta se b está na imagem da transformação linear definida por A . Basicamente, isso significa que precisamos verificar se existe um vetor x tal que Ax = b . Para isso, vamos resolver o sistema de equações dado por essa igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que vem de Ax = b . A matriz A é:
Nosso objetivo é simplificar essa matriz para descobrir se o sistema tem solução.
Passo 4
Vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar a matriz. Primeiro, observamos que a primeira linha já tem um 1 como primeiro elemento, o que facilita. Vamos eliminar o 2x1 da terceira linha.
Para isso, multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da terceira linha:
Agora, vamos simplificar a terceira linha. Note que a terceira linha é 2 vezes a segunda linha. Vamos subtrair 2 vezes a segunda linha da terceira linha para eliminar os termos:
E x3 pode ser qualquer número real. Isso significa que existe pelo menos uma solução para o sistema, ou seja, b está na imagem da transformação linear definida por A .
Resposta
Sim, o vetor b está na imagem da transformação linear x mapsto A x , pois existe uma solução para o sistema Ax = b .