A matriz A=[ll2 & -2 2 & -2] é um vetor no espaço M de todas as matrizes 2 por 2. Apresente o vetor nulo desse espaço, o vetor 12 A. Que matrizes estão no menor subespaço que contém A ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz A = 2 & -2 2 & -2 que está no espaço M de todas as matrizes 2 por 2. Vamos precisar entender o que é o vetor nulo nesse espaço, calcular 12A e descobrir quais matrizes estão no menor subespaço que contém A . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como espaço vetorial, vetores nulos e subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor nulo no espaço M . Em qualquer espaço vetorial, o vetor nulo é a matriz onde todos os elementos são zero. Isso porque, adicionando essa matriz a qualquer outra matriz no espaço, ela não altera a matriz original.
Então, o vetor nulo em M é:
0M = 0 & 0 0 & 0

Passo 3

Agora, vamos calcular 12A . Isso significa multiplicar cada elemento da matriz A por 12 :
12A = 12 2 & -2 2 & -2 = 12 times 2 & 12 times (-2) 12 times 2 & 12 times (-2) = 1 & -1 1 & -1

Passo 4

Por fim, vamos descobrir quais matrizes estão no menor subespaço que contém A . O menor subespaço que contém um vetor (ou matriz, no caso) é chamado de subespaço gerado por esse vetor.
Como A é uma matriz 2x2, todo subespaço que contém A é formado por todas as combinações lineares de A . Isso inclui todas as matrizes que podem ser obtidas multiplicando A por um número real.
Então, o menor subespaço que contém A é:
S = kA mid k in R
Isso significa que qualquer matriz nesse subespaço é uma versão escalada de A .

Resposta

O vetor nulo do espaço M é 0 & 0 0 & 0 , o vetor 12A é 1 & -1 1 & -1 , e o menor subespaço que contém A é formado por todas as matrizes que são múltiplos escalares de A , ou seja, S = kA mid k in R .

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