Dada a matriz . Quantas linhas de A contêm uma posição de pivô? A equação A x=b tem solução para todo b em R^4 ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu uma matriz quadrada de 4x4 e me pediu para descobrir quantas linhas dela têm uma posição de pivô. Além disso, queremos saber se a equação A x = b tem solução para todo vetor b em R^4 .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de matriz escalonada, pivôs e rangos. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos colocar a matriz A em uma forma mais simples chamada forma escalonada por linhas. Isso facilita a identificação das posições de pivô. Vamos fazer isso usando operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero ou adicionar múltiplos de uma linha a outra).
Olha só! A Linha 3 ficou com todos os zeros, mas a Linha 4 tem um 5 na quarta coluna. Vamos considerar isso como nosso próximo pivô.
Agora, temos:
Pivô na Linha 1 (primeira coluna)
Pivô na Linha 2 (segunda coluna)
Pivô na Linha 4 (quarta coluna)
Passo 6
Contando os pivôs que identificamos, temos 3 posições de pivô nas linhas 1, 2 e 4 da matriz A .
Passo 7
Para a segunda parte da pergunta: A equação A x = b tem solução para todo b em R^4 se e somente se a matriz A tiver um pivô em todas as suas linhas, ou seja, se o posto de A for igual ao número de suas linhas (neste caso, 4).
Como identificamos que a matriz A tem apenas 3 pivôs, isso significa que existe pelo menos um vetor b para o qual a equação A x = b não terá solução.
Resposta
A matriz A possui 3 linhas com posição de pivô. Além disso, a equação A x = b não tem solução para todo b em R^4 .