Dada a matriz A=[cccc1 & 3 & 0 & 3 -1 & -1 & -1 & 1 0 & -4 & 2 & -8 2 & 0 & 3 & -1]. Quantas linhas de A contêm uma posição de pivô? A equação A x=b tem solução para todo b em R^4 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma matriz quadrada de 4x4 e me pediu para descobrir quantas linhas dela têm uma posição de pivô. Além disso, queremos saber se a equação A x = b tem solução para todo vetor b em R^4 .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de matriz escalonada, pivôs e rangos. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos colocar a matriz A em uma forma mais simples chamada forma escalonada por linhas. Isso facilita a identificação das posições de pivô. Vamos fazer isso usando operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero ou adicionar múltiplos de uma linha a outra).
Nossa matriz A é:
A = 1 & 3 & 0 & 3 -1 & -1 & -1 & 1 0 & -4 & 2 & -8 2 & 0 & 3 & -1

Passo 3

Começamos pela primeira coluna. O primeiro elemento (chamado de pivô) já é 1, que é ótimo!
Agora, vamos eliminar os números abaixo desse pivô na primeira coluna. Para isso:
  • Linha 2: L2 + L1
  • Linha 4: L4 - 2 times L1
Aplicando essas operações:
1 & 3 & 0 & 3 0 & 2 & -1 & 4 0 & -4 & 2 & -8 0 & -6 & 3 & -7

Passo 4

Agora, vamos para a segunda coluna. O próximo pivô é 2 na Linha 2. Vamos usá-lo para eliminar os números abaixo na mesma coluna.
  • Linha 3: L3 + 2 times L2
  • Linha 4: L4 + 3 times L2
Calculando:
1 & 3 & 0 & 3 0 & 2 & -1 & 4 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 5

Passo 5

Olha só! A Linha 3 ficou com todos os zeros, mas a Linha 4 tem um 5 na quarta coluna. Vamos considerar isso como nosso próximo pivô.
Agora, temos:
  • Pivô na Linha 1 (primeira coluna)
  • Pivô na Linha 2 (segunda coluna)
  • Pivô na Linha 4 (quarta coluna)

Passo 6

Contando os pivôs que identificamos, temos 3 posições de pivô nas linhas 1, 2 e 4 da matriz A .

Passo 7

Para a segunda parte da pergunta: A equação A x = b tem solução para todo b em R^4 se e somente se a matriz A tiver um pivô em todas as suas linhas, ou seja, se o posto de A for igual ao número de suas linhas (neste caso, 4).
Como identificamos que a matriz A tem apenas 3 pivôs, isso significa que existe pelo menos um vetor b para o qual a equação A x = b não terá solução.

Resposta

A matriz A possui 3 linhas com posição de pivô. Além disso, a equação A x = b não tem solução para todo b em R^4 .

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