Marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique sua resposta analisando cada item abaixo.
  • Quando u e v não são vetores nulos, Lu, v contém apenas a reta determinada por u e 0 e a reta determinada por v e 0 .
  • Qualquer lista de cinco números reais é um vetor em R^5.
  • Perguntar se um sistema linear cuja matriz aumentada é [v1 v2 v3 b] tem uma solução é o mesmo que perguntar se b pertence a Lv1, v2, v3.
  • Os escalares lambda1, cdots, lambdak em uma combinação linear lambda1 v1+cdots+lambdak vk não pode ser todos nulos.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você trouxe! Temos um exercício que pede para marcarmos algumas afirmações como Verdadeiras ou Falsas, analisando cada uma delas. O conteúdo envolve vetores, combinações lineares e sistemas lineares, temas que fazem parte da Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como espaço gerado por vetores, vetores em R^n e a relação entre sistemas lineares e espaços gerados por vetores.

Passo 2

Afirmação 1: Quando u e v não são vetores nulos, Lu, v contém apenas a reta determinada por u e 0 e a reta determinada por v e 0.
Vamos entender o que é Lu, v . Esse símbolo representa o espaço gerado pelos vetores u e v, ou seja, todas as combinações lineares desses vetores. Se u e v não são vetores nulos e são colineares (isto é, um é múltiplo do outro), então o espaço gerado por eles é apenas a reta formada por qualquer um deles e a origem. Porém, se u e v são vetores independentes, Lu, v forma um plano.
Portanto, a afirmação está dizendo que sempre teremos apenas duas retas, mas na verdade pode ser um único plano se u e v forem independentes.
Conclusão: Falsa.

Passo 3

Afirmação 2: Qualquer lista de cinco números reais é um vetor em R^5 .
Aqui, R^5 representa o espaço vetorial de 5 dimensões, onde cada vetor tem exatamente cinco componentes reais. Uma “lista de cinco números reais” exatamente corresponde a um vetor em R^5 .
Conclusão: Verdadeira.

Passo 4

Afirmação 3: Perguntar se um sistema linear cuja matriz aumentada é [v1 v2 v3 b] tem uma solução é o mesmo que perguntar se b pertence a Lv1, v2, v3 .
Quando resolvemos um sistema linear, estamos basicamente tentando ver se o vetor b pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores v₁, v₂ e v₃. Isso é exatamente o que significa dizer que b pertence ao espaço gerado por v₁, v₂ e v₃.
Conclusão: Verdadeira.

Passo 5

Afirmação 4: Os escalares lambda1, cdots, lambdak em uma combinação linear lambda1 v1 + cdots + lambdak vk não podem ser todos nulos.
Na verdade, os escalares em uma combinação linear podem ser todos nulos. Quando todos os lambdai = 0 , a combinação linear resulta no vetor zero, o que é permitido. A única condição que pode ser imposta é se estamos falando de combinações lineares não triviais, onde pelo menos um lambdai é diferente de zero. Mas na definição geral de combinação linear, todos os escalares podem ser zero.
Conclusão: Falsa.

Resposta

  1. Falsa - Porque Lu, v pode formar um plano se u e v não forem colineares.
  2. Verdadeira - Uma lista de cinco números reais é exatamente um vetor em R^5 .
  3. Verdadeira - Ter uma solução para o sistema é o mesmo que b pertencer a Lv1, v2, v3 .
  4. Falsa - Os escalares em uma combinação linear podem todos ser zero.

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