Marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique sua resposta analisando cada item abaixo.
- Quando u e v não são vetores nulos,
contém apenas a reta determinada por
e
e a reta determinada por
e 0 .
- Qualquer lista de cinco números reais é um vetor em
.
- Perguntar se um sistema linear cuja matriz aumentada é
tem uma solução é o mesmo que perguntar se
pertence a
.
- Os escalares
em uma combinação linear
não pode ser todos nulos.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você trouxe! Temos um exercício que pede para marcarmos algumas afirmações como Verdadeiras ou Falsas, analisando cada uma delas. O conteúdo envolve vetores, combinações lineares e sistemas lineares, temas que fazem parte da Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como espaço gerado por vetores, vetores em
e a relação entre sistemas lineares e espaços gerados por vetores.
Passo 2
Afirmação 1: Quando u e v não são vetores nulos,
contém apenas a reta determinada por u e 0 e a reta determinada por v e 0.
Vamos entender o que é
. Esse símbolo representa o espaço gerado pelos vetores u e v, ou seja, todas as combinações lineares desses vetores. Se u e v não são vetores nulos e são colineares (isto é, um é múltiplo do outro), então o espaço gerado por eles é apenas a reta formada por qualquer um deles e a origem. Porém, se u e v são vetores independentes,
forma um plano.
Portanto, a afirmação está dizendo que sempre teremos apenas duas retas, mas na verdade pode ser um único plano se u e v forem independentes.
Conclusão: Falsa.
Passo 3
Afirmação 2: Qualquer lista de cinco números reais é um vetor em
.
Aqui,
representa o espaço vetorial de 5 dimensões, onde cada vetor tem exatamente cinco componentes reais. Uma “lista de cinco números reais” exatamente corresponde a um vetor em
.
Conclusão: Verdadeira.
Passo 4
Afirmação 3: Perguntar se um sistema linear cuja matriz aumentada é
tem uma solução é o mesmo que perguntar se
pertence a
.
Quando resolvemos um sistema linear, estamos basicamente tentando ver se o vetor b pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores v₁, v₂ e v₃. Isso é exatamente o que significa dizer que b pertence ao espaço gerado por v₁, v₂ e v₃.
Conclusão: Verdadeira.
Passo 5
Afirmação 4: Os escalares
em uma combinação linear
não podem ser todos nulos.
Na verdade, os escalares em uma combinação linear podem ser todos nulos. Quando todos os
, a combinação linear resulta no vetor zero, o que é permitido. A única condição que pode ser imposta é se estamos falando de combinações lineares não triviais, onde pelo menos um
é diferente de zero. Mas na definição geral de combinação linear, todos os escalares podem ser zero.
Conclusão: Falsa.
Resposta
- Falsa - Porque
pode formar um plano se u e v não forem colineares. - Verdadeira - Uma lista de cinco números reais é exatamente um vetor em
. - Verdadeira - Ter uma solução para o sistema é o mesmo que b pertencer a
. - Falsa - Os escalares em uma combinação linear podem todos ser zero.