Segundo um hospital, o tempo médio que um paciente espera para ser atendido na emergência é de 25 minutos, e a variância populacional desse tempo é conhecida, sendo 16 minutos { }^{2}. Para investigar essa estimativa, um pesquisador reuniu dados de uma amostra de 40 pacientes, na qual o tempo médio de espera observado foi de 27 minutos. Utilizando um nível de significância de 5 \%, verifique se há indícios de que o tempo médio de espera real dos pacientes é diferente de 25 minutos. A diferença observada é estatisticamente significativa? ( Z_{\text {tab }}=1,96 )

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede o que segue:
  • Tempo médio informado pelo hospital (hipótese): \mu_0=25 minutos.
  • Variância populacional conhecida: \sigma^2=16 minutos ^2. Logo o desvio padrão populacional é \sigma=4 minutos.
  • Amostra com n=40 pacientes, com média amostral observada \overline{x}=27 minutos.
  • Nível de significância: \alpha=0{,}05.
  • Valor crítico informado: Z_{\text{tab}}=1{,}96.
Perguntas que precisamos responder:
  1. Há indícios de que o tempo médio real dos pacientes seja diferente de 25 minutos?
  2. A diferença observada é estatisticamente significativa?

Passo 2

Formulamos o teste de hipóteses (teste bicaudal, porque queremos saber se é diferente de 25):
H_0: \mu = 25
H_1: \mu \neq 25
Como a variância populacional é conhecida ( \sigma^2 conhecida), o teste apropriado é o teste z para média.

Passo 3

Apresento a fórmula da estatística de teste e explico cada símbolo:
A estatística z é dada por
z = \frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
onde:
  • \overline{x} é a média amostral (aqui \overline{x}=27);
  • \mu_0 é a média sob hipótese nula (aqui \mu_0=25);
  • \sigma é o desvio padrão populacional (aqui \sigma=4);
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=40);
  • \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média (quantifica a variabilidade da média amostral).
O critério de rejeição para um nível \alpha=0{,}05 e teste bicaudal é: rejeitar H_0 se |z|>Z_{\text{tab}}=1{,}96.

Passo 4

Calculo do erro padrão da média passo a passo:
\sqrt{n}=\sqrt{40}\approx 6{,}3246
\text{erro padrão}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{4}{\sqrt{40}}=\frac{4}{6{,}3246}\approx 0{,}632456ã
Expliquei: o erro padrão é a “incerteza” típica da média amostral; quanto maior n, menor esse erro.

Passo 5

Substituo os valores na fórmula de z e calculo:
z=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{27-25}{4/\sqrt{40}}=\frac{2}{0{,}632456}\approx 3{,}1623
Interpretação: o valor observado da média amostral está a cerca de 3{,}16 desvios-padrão do valor hipóteses.

Passo 6

Comparação com o valor crítico e decisão:
  • Valor crítico (bicaudal) dado: Z_{\text{tab}}=1{,}96.
  • Observamos |z|\approx 3{,}1623.
Como |z|=3{,}1623>1{,}96, rejeitamos a hipótese nula H_0 ao nível \alpha=0{,}05. Ou seja, há evidência estatística de que a média real difere de 25 minutos.

Passo 7

Cálculo aproximado do p-valor (para reforçar a força da evidência):
O p-valor bicaudal é p=2\big(1-\Phi(|z|)\big), onde \Phi é a função de distribuição acumulada da Normal padrão. Para |z|=3{,}1623 temos cauda superior aproximadamente 0{,}0008, então
p \approx 2\times 0{,}0008 = 0{,}0016.
Como p\approx 0{,}0016 \ll 0{,}05, a evidência contra H_0 é forte.

Passo 8

Interpretação prática e reforço didático (rápido): a diferença observada é de 2 minutos ( 27-25), que corresponde a 2/4=0{,}5 desvios-padrão da população — isso é um efeito moderado. Mesmo assim, devido ao tamanho da amostra ( n=40), a diferença tornou-se estatisticamente significativa; em provas, fique atento à distinção entre significância estatística (aqui sim) e relevância prática (que depende do contexto).

Resposta

Há evidências para afirmar que o tempo médio difere de 25 minutos (rejeita-se H_0 ao nível de 5\%).
Sim — a diferença observada é estatisticamente significativa (estatística de teste z\approx 3{,}1623 > Z_{\text{tab}}=1{,}96; p\approx 0{,}0016).

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