Uma distribuidora de leite afirma que a quantidade média de leite em suas garrafas é de 1 litro, com uma desvio padrão populacional conhecido de 0,03 litros. No entanto, alguns clientes desconfiam que a quantidade média de leite seja inferior a essa medida. Para investigar essa suspeita, um cliente realiza uma amostra de 30 garrafas e obtém uma média amostral de 0,99 litro. Teste, ao nível de significância de 1 \%, se a quantidade média de leite é realmente menor do que 1 litro. A suspeita dos clientes é válida? ( Z_{\mathrm{tab}}=2,33 )

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma conclusão clara:
  • Quantidade média reivindicada pela distribuidora: \,1 litro (valor hipotético).
  • Desvio padrão populacional conhecido: \,0,03 litros.
  • Tamanho da amostra: \,n=30.
  • Média amostral observada: \,\overline{x}=0,99 litro.
  • Nível de significância: \,\alpha=0{,}01 (ou 1\%).
  • Foi fornecido o valor tabelado Z_{\mathrm{tab}}=2{,}33 (usaremos o sinal apropriado para o teste unilateral).
    Pergunta que o exercício faz: testar, ao nível de significância de 1\%, se a quantidade média de leite é realmente menor do que 1 litro — ou seja, verificar se a suspeita dos clientes (média inferior a 1 litro) é válida.

Passo 2

Formulamos as hipóteses do teste (isso organiza o que estamos verificando):
H_0: \mu = 1
H_a: \mu < 1
Explicação curta e direta: H_0 (hipótese nula) diz que a média populacional é 1 litro; H_a (hipótese alternativa) representa a suspeita dos clientes de que a média é menor que 1 litro. Como a suspeita é “menor”, o teste será unilateral à esquerda.

Passo 3

Escolha do teste e justificativa (passo importante para aplicar a fórmula correta):
  • Temos o desvio padrão populacional conhecido ( \sigma conhecido), então usamos o teste z (teste para média com \sigma conhecido).
  • O tamanho da amostra é \,n=30, suficientemente grande para o uso do z e compatível com a condição de usarmos a normal (ou regra da amostra grande).
    Não usaremos outros testes (como t) porque a informação chave é que \sigma é conhecida.

Passo 4

Definição e interpretação da estatística de teste:
A estatística do teste z é dada por
z \;=\; \frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}},
onde
  • \overline{x} é a média amostral (aqui \overline{x}=0,99),
  • \mu_0 é a média sob H_0 (aqui \mu_0=1),
  • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido (aqui \sigma=0,03),
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=30).
    Essa fórmula padroniza a diferença entre a média amostral e a média hipotética em termos de desvios-padrão da média amostral.

Passo 5

Cálculo do erro padrão da média (denominador da estatística):
Primeiro calculamos \sqrt{n}:
\sqrt{30}\approx 5,4772.
Agora o erro padrão é
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0,03}{\sqrt{30}}\approx\frac{0,03}{5,4772}\approx 0,0054772.
Explicando: o erro padrão mede a variabilidade esperada da média amostral em torno da média populacional; quanto maior n, menor esse erro.

Passo 6

Cálculo da estatística z:
A diferença entre a média amostral e a hipótese é \overline{x}-\mu_0=0,99-1=-0,01.
Aplicando na fórmula:
z=\frac{-0,01}{0,0054772}\approx -1,8257\approx -1,826.
Interpretação numérica: o valor amostral está cerca de 1{,}826 erros-padrão abaixo do valor hipotético 1.

Passo 7

Determinação da região crítica e regra de decisão:
  • Como o teste é unilateral à esquerda e \alpha=0{,}01, o valor crítico z_{\text{crítico}}í é -2{,}33 (usamos o negativo de 2{,}33 porque é a cauda esquerda).
  • Regra de decisão: rejeitar H_0 se z \le z_{\text{crítico}}=-2{,}33í.
    Observação: o enunciado deu Z_{\mathrm{tab}}=2{,}33; para o nosso teste à esquerda usamos -2{,}33.

Passo 8

Comparação entre estatística observada e região crítica; cálculo do p-valor:
  • Estatística observada: z\approx -1{,}826.
  • Como -1{,}826 > -2{,}33, o valor observado não cai na região crítica; logo não rejeitamos H_0.
    Para reforçar, calculamos o p-valor (probabilidade, sob H_0, de obter um valor tão extremo ou mais na cauda esquerda):
p\text{-valor}=P(Z\le -1{,}826)\approx 0{,}034.
Como p\text{-valor}\approx 0{,}034 > \alpha=0{,}01, novamente concluímos que não há evidência suficiente para rejeitar H_0 ao nível de 1\%.

Passo 9

Interpretação final em linguagem simples e motivadora:
  • Resultado técnico: não rejeitamos H_0 ao nível de significância de 1\%.
  • Em palavras: com base na amostra de 30 garrafas (média 0,99 L) e considerando a variabilidade conhecida ( \sigma=0,03 L), não há evidências fortes o suficiente (ao nível de 1\%) para afirmar que a quantidade média de leite é menor do que 1 litro.
    Dica amiga: se você estivesse disposto a aceitar um nível de significância maior (por exemplo 5\%), o mesmo p-valor ( \approx0{,}034) seria suficiente para rejeitar H_0 nesse nível. Mas o exercício fixou \alpha=1\%, que é mais exigente.

Resposta

Não — não há evidência suficiente ao nível de significância de 1\% para concluir que a média é menor que 1 litro (estatística de teste z\approx -1{,}826, z_{\text{crítico}}=-2{,}33í, p\text{-valor}\approx 0{,}034).

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