Assuma que a quantidade de colesterol no sangue de habitantes de uma determinada localidade segue uma distribuição normal com média e desvio padrão desconhecidos. Ao selecionarmos uma amostra aleatória de tamanho 25 obtemos média amostral igual a e desvio-padrão amostral igual a .
Baseando-se nessa amostra, determine um intervalo de confiança de para . 1,0
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar um intervalo de confiança de 95% para a média () da quantidade de colesterol no sangue de uma população. Sabemos que a distribuição é normal, mas a média e o desvio padrão são desconhecidos. Para isso, vamos precisar usar a distribuição t de Student, que é ideal quando o desvio padrão da população não é conhecido e a amostra é pequena (nesse caso, tamanho 25).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o intervalo de confiança quando o desvio padrão é desconhecido:
Aqui:
X é a média amostral.
talpha/2 é o valor crítico da distribuição t de Student para o nível de confiança desejado.
s é o desvio padrão amostral.
n é o tamanho da amostra.
Passo 3
Vamos identificar cada parte dos nossos dados:
Média amostral (X) = 210 mg/dl
Desvio padrão amostral (s) = 15 mg/dl
Tamanho da amostra (n) = 25
Como queremos um intervalo de confiança de 95%, o valor de alpha é 0,05 (já que 100% - 95% = 5%). Como é um intervalo de confiança, dividimos esse valor por 2 para obter alpha/2 = 0,025.
Para encontrar talpha/2, precisamos olhar em uma tabela t de Student ou usar uma calculadora estatística com graus de liberdade (df) igual a n - 1 = 24. O valor encontrado é aproximadamente 2,064.
Passo 4
Agora, vamos calcular o erro padrão da média, que é:
sraizn = 15raiz25 = 155 = 3
Passo 5
Com o erro padrão e o valor crítico t, podemos calcular a margem de erro:
talpha/2 cdot sraizn = 2,064 times 3 approx 6,192
Passo 6
Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da média amostral:
210 - 6,192 = 203,808 210 + 6,192 = 216,192
Arredondando, temos:
203,81 mg/dl <= mu <= 216,19 mg/dl
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para mu é aproximadamente [203,81 , mg/dl, , 216,19 , mg/dl].