Uma pesquisa eleitoral foi conduzida para estimar o percentual de votos de um certo candidato na população de eleitores. Dos 1000 entrevistados, 250 declararam voto para o candidato.
Calcule o intervalo de
de confiança conservador para o percentual de votos do candidato na população de eleitores.
Calcule o intervalo de
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo: temos uma pesquisa eleitoral com 1000 entrevistados, dos quais 250 disseram votar em um certo candidato. Queremos calcular o intervalo de confiança de 98% para a porcentagem de votos desse candidato na população total de eleitores. Para isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados a intervalos de confiança para proporções.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a proporção da amostra que vota no candidato, que chamamos de $ \hat{p} $. Isso é calculado dividindo o número de pessoas que votaram no candidato pelo tamanho total da amostra.
Passo 3
Agora, determinamos o nível de confiança, que neste caso é de 98%. O nível de confiança nos diz a probabilidade de que o intervalo calculado contenha a verdadeira proporção de votos do candidato na população.
Passo 4
Para um intervalo de confiança de 98%, encontramos o valor crítico $ Z $ correspondente. Esse valor indica quantos desvios padrão afastados da média devemos considerar para alcançar o nível de confiança desejado. Consultando uma tabela $ Z $, encontramos que para 98% de confiança, $ Z \approx 2{,}326 $.
Passo 5
Usamos a fórmula do intervalo de confiança para proporções:
Onde:
- $ \hat{p} $ é a proporção da amostra (25%),
- $ Z $ é o valor crítico (2,326),
- $ n $ é o tamanho da amostra (1000).
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 7
Vamos calcular passo a passo:
- Calcula o produto $ \hat{p}(1 - \hat{p}) $:
- Divide pelo tamanho da amostra:
- Calcula a raiz quadrada desse valor:
Passo 8
Multiplicamos o valor crítico pelo resultado da raiz quadrada:
Passo 9
Finalmente, calculamos os limites inferior e superior do intervalo de confiança:
- Limite Inferior:
- Limite Superior:
Resposta
O intervalo de confiança de 98% para a porcentagem de votos do candidato na população de eleitores é de 21,82% a 28,18%.