Uma pesquisa eleitoral foi conduzida para estimar o percentual de votos de um certo candidato na população de eleitores. Dos 1000 entrevistados, 250 declararam voto para o candidato.
Calcule o intervalo de 98 % de confiança conservador para o percentual de votos do candidato na população de eleitores. (1,0)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: temos uma pesquisa eleitoral com 1000 entrevistados, dos quais 250 disseram votar em um certo candidato. Queremos calcular o intervalo de confiança de 98% para a porcentagem de votos desse candidato na população total de eleitores. Para isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados a intervalos de confiança para proporções.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a proporção da amostra que vota no candidato, que chamamos de $ \hat{p} $. Isso é calculado dividindo o número de pessoas que votaram no candidato pelo tamanho total da amostra.
p ú

Passo 3

Agora, determinamos o nível de confiança, que neste caso é de 98%. O nível de confiança nos diz a probabilidade de que o intervalo calculado contenha a verdadeira proporção de votos do candidato na população.

Passo 4

Para um intervalo de confiança de 98%, encontramos o valor crítico $ Z $ correspondente. Esse valor indica quantos desvios padrão afastados da média devemos considerar para alcançar o nível de confiança desejado. Consultando uma tabela $ Z $, encontramos que para 98% de confiança, $ Z \approx 2{,}326 $.

Passo 5

Usamos a fórmula do intervalo de confiança para proporções:
p pm Z times raizp(1 - p)n
Onde:
  • $ \hat{p} $ é a proporção da amostra (25%),
  • $ Z $ é o valor crítico (2,326),
  • $ n $ é o tamanho da amostra (1000).

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
0,25 pm 2,326 times raiz0,25 times (1 - 0,25)1000

Passo 7

Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcula o produto $ \hat{p}(1 - \hat{p}) $:
p(1 - p)
  1. Divide pelo tamanho da amostra:
0,25 times 0,75 = 0,1875
  1. Calcula a raiz quadrada desse valor:
0,18751000 = 0,0001875

Passo 8

Multiplicamos o valor crítico pelo resultado da raiz quadrada:
2,326 times 0,01369 approx 0,0318

Passo 9

Finalmente, calculamos os limites inferior e superior do intervalo de confiança:
  • Limite Inferior:
0,25 - 0,0318 approx 0,2182 ou 21,82%
  • Limite Superior:
0,25 + 0,0318 approx 0,2818 ou 28,18%

Resposta

O intervalo de confiança de 98% para a porcentagem de votos do candidato na população de eleitores é de 21,82% a 28,18%.

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