3-Assuma que S e E satisfazem as condições do Teorema da Divergência e que as função escalar e componentes dos campos vetoriais são contínuas com derivadas parciais até segunda ordem para provar que \iint_{S}(f \nabla g) . n d s=\iiint_{E}\left(f \nabla^{2} g+\nabla f . \nabla g\right) . d v

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sob as hipóteses do Teorema da Divergência e com f e g escalares de classe C^2, vale
\iint_{S}(f\,\nabla g)\cdot n\,ds = \iiint_{E}\bigl(f\,\nabla^{2}g+\nabla f\cdot\nabla g\bigr)\,dv.
O que vamos usar é o Teorema da Divergência aplicado a um campo vetorial bem escolhido e a regra do produto para divergência.

Passo 2

Defina o campo vetorial
\mathbf{F} = f\,\nabla g.
Pelo Teorema da Divergência, como S=\partial E e tudo é suficientemente suave,
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot n\,ds = \iiint_{E}\nabla\!\cdot\!\mathbf{F}\,dv.

Passo 3

Calculemos a divergência de \mathbf{F} usando a regra do produto:
\nabla\!\cdot\!(f\,\nabla g) = \nabla f\cdot\nabla g + f\,\nabla\!\cdot\!(\nabla g).
Mas \nabla\!\cdot\!(\nabla g)=\nabla^2 g, o laplaciano de g. Logo,
\nabla\!\cdot\!(f\,\nabla g) = \nabla f\cdot\nabla g + f\,\nabla^2 g.

Passo 4

Substituindo esse resultado no Teorema da Divergência obtemos
\iint_{S}(f\,\nabla g)\cdot n\,ds = \iiint_{E}\bigl(\nabla f\cdot\nabla g+f\,\nabla^2 g\bigr)\,dv,
que é exatamente o que se queria provar.

Resposta

\iint_{S}(f\,\nabla g)\cdot n\,ds = \iiint_{E}\bigl(f\,\nabla^{2} g+\nabla f \cdot \nabla g\bigr)\,dv.

Exercícios relacionados