3-Assuma que S e E satisfazem as condições do Teorema da Divergência e que as função escalar e componentes dos campos vetoriais são contínuas com derivadas parciais até segunda ordem para provar que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sob as hipóteses do Teorema da Divergência e com
e
escalares de classe
, vale
O que vamos usar é o Teorema da Divergência aplicado a um campo vetorial bem escolhido e a regra do produto para divergência.
Passo 2
Defina o campo vetorial
Pelo Teorema da Divergência, como
e tudo é suficientemente suave,
Passo 3
Calculemos a divergência de
usando a regra do produto:
Mas
, o laplaciano de
. Logo,
Passo 4
Substituindo esse resultado no Teorema da Divergência obtemos
que é exatamente o que se queria provar.