(2.0 pontos) Determine o domínio de definição
de
é aberto?
é fechado?
é conexo?
é limitado? Justifique suss respostss.
Passo 1
O enunciado pede o domínio de definição
da função
e em seguida quer saber se
é aberto, fechado, conexo e limitado. Para isso vamos usar noções de análise de conjuntos em
: pontos em que o denominador se anula não podem pertencer a
, e depois aplicamos definições de aberto, fechado, conexo e limitado.
Passo 2
Para
estar bem definida precisamos de
isto é,
Passo 3
Logo o domínio é
Passo 4
O conjunto
é um disco aberto e
é o exterior de um disco (também aberto). Como
é união de dois abertos, concluímos que
é aberto.
Passo 5
O complementar de
em
é
, que é a circunferência de raio
. Essa circunferência não é um conjunto aberto, logo o complementar de
não é aberto, portanto
não é fechado.
Passo 6
Como
se divide em duas partes desconexas
e
, não existe caminho contínuo em
que ligue um ponto com
a um ponto com
. Logo
não é conexo.
Passo 7
O conjunto
contém pontos com módulo arbitrariamente grande, de modo que
não cabe em nenhum disco de raio finito. Assim
não é limitado.
Resposta
O domínio é