(2.0 pontos) Determine o domínio de definição S de
f(z)=\frac{\sqrt{3}}{4-|z|^{2}}
S é aberto? S é fechado? S é conexo? S é limitado? Justifique suss respostss.

Passo 1

O enunciado pede o domínio de definição S da função
f(z)=\frac{\sqrt{3}}{4 - |z|^2}
e em seguida quer saber se S é aberto, fechado, conexo e limitado. Para isso vamos usar noções de análise de conjuntos em \mathbb{C}: pontos em que o denominador se anula não podem pertencer a S, e depois aplicamos definições de aberto, fechado, conexo e limitado.

Passo 2

Para f(z) estar bem definida precisamos de
4 - |z|^2 \neq 0
isto é,
|z|^2 \neq 4 \quad\Longleftrightarrow\quad |z| \neq 2.

Passo 3

Logo o domínio é
S = \{\,z\in\mathbb{C}:|z|\neq 2\} =\{\,z:|z|<2\}\;\cup\;\{\,z:|z|>2\}.

Passo 4

O conjunto \{z:|z|<2\} é um disco aberto e \{z:|z|>2\} é o exterior de um disco (também aberto). Como S é união de dois abertos, concluímos que S é aberto.

Passo 5

O complementar de S em \mathbb{C} é \{z:|z|=2\}, que é a circunferência de raio 2. Essa circunferência não é um conjunto aberto, logo o complementar de S não é aberto, portanto S não é fechado.

Passo 6

Como S se divide em duas partes desconexas \{\,|z|<2\} e \{\,|z|>2\}, não existe caminho contínuo em S que ligue um ponto com |z|<2 a um ponto com |z|>2. Logo S não é conexo.

Passo 7

O conjunto \{z:|z|>2\}\subset S contém pontos com módulo arbitrariamente grande, de modo que S não cabe em nenhum disco de raio finito. Assim S não é limitado.

Resposta

O domínio é
S=\{\,z\in\mathbb{C}:|z|<2\}\;\cup\;\{\,z\in\mathbb{C}:|z|>2\}.
S é aberto, não é fechado, não é conexo e não é limitado.

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