Exercício 6. Mostre que se
e
são dois campos vetoriais definidos em
e
duas funções escalares
de três variáveis, então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade vetorial
.
O conteúdo envolve cálculo vetorial em e usaremos as definições de gradiente, divergente, rotor e laplaciano, além da comutatividade das derivadas parciais.\n
O conteúdo envolve cálculo vetorial em
Passo 2
Definimos o operador nabla como
.
Para um campo temos:
Para um campo
Passo 3
Chamando
, suas componentes são
A primeira componente de
é
Substituindo
e
e aplicando a comutatividade das derivadas,
Passo 4
Expandindo cada termo,
Reagrupando e usando
e similarmente para
,
Passo 5
O primeiro termo é
e o segundo é
.
Logo
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Pelas mesmas contas para as componentes 2 e 3, concluímos