Exercício 6. Mostre que se vec{F} e vec{G} são dois campos vetoriais definidos em E \subset \mathbb{R}^{3} e f, g duas funções escalares C^{1} de três variáveis, então
\nabla \times(\nabla \times \vec{F}))=\nabla(\nabla \cdot \vec{F})-\nabla^{2} \vec{F}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade vetorial
\nabla\times(\nabla\times\vec{F})=\nabla(\nabla\cdot\vec{F})-\nabla^2\vec{F}.
O conteúdo envolve cálculo vetorial em \mathbb{R}^3 e usaremos as definições de gradiente, divergente, rotor e laplaciano, além da comutatividade das derivadas parciais.\n

Passo 2

Definimos o operador nabla como
\nabla=(\partial/\partial x,\;\partial/\partial y,\;\partial/\partial z).
Para um campo \vec{F}=(F_1,F_2,F_3) temos:
\nabla\cdot\vec{F} =\frac{\partial F_1}{\partial x} +\frac{\partial F_2}{\partial y} +\frac{\partial F_3}{\partial z},
\nabla\times\vec{F} =\Bigl(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\; \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\; \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\Bigr),
\nabla^2\vec{F} =(\nabla^2F_1,\nabla^2F_2,\nabla^2F_3), \quad \nabla^2F_i =\frac{\partial^2F_i}{\partial x^2} +\frac{\partial^2F_i}{\partial y^2} +\frac{\partial^2F_i}{\partial z^2}.\n

Passo 3

Chamando \vec{G}=\nabla\times\vec{F}, suas componentes são
G_1=\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\quad G_2=\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\quad G_3=\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}.
A primeira componente de \nabla\times\vec{G}=\nabla\times(\nabla\times\vec{F}) é
(\nabla\times\vec{G})_1 =\frac{\partial G_3}{\partial y} -\frac{\partial G_2}{\partial z}.
Substituindo G_2 e G_3 e aplicando a comutatividade das derivadas,
(\nabla\times(\nabla\times\vec{F}))_1 =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\Bigr) -\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}\Bigr).\n

Passo 4

Expandindo cada termo,
(\nabla\times(\nabla\times\vec{F}))_1 =\frac{\partial^2F_2}{\partial y\partial x} -\frac{\partial^2F_1}{\partial y^2} -\frac{\partial^2F_1}{\partial z^2} +\frac{\partial^2F_3}{\partial z\partial x}.
Reagrupando e usando
\partial^2F_2/(\partial y\partial x)=\partial^2F_2/(\partial x\partial y) e similarmente para F_3,
(\nabla\times(\nabla\times\vec{F}))_1 =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{\partial F_1}{\partial x} +\frac{\partial F_2}{\partial y} +\frac{\partial F_3}{\partial z}\Bigr) -\Bigl(\frac{\partial^2F_1}{\partial x^2} +\frac{\partial^2F_1}{\partial y^2} +\frac{\partial^2F_1}{\partial z^2}\Bigr).\n

Passo 5

O primeiro termo é
\partial(\nabla\cdot\vec{F})/\partial x e o segundo é \nabla^2F_1.
Logo
(\nabla\times(\nabla\times\vec{F}))_1 =\frac{\partial}{\partial x}(\nabla\cdot\vec{F}) -\nabla^2F_1.
Pelas mesmas contas para as componentes 2 e 3, concluímos
(\nabla\times(\nabla\times\vec{F}))_i =\frac{\partial}{\partial x_i}(\nabla\cdot\vec{F}) -\nabla^2F_i, \quad i=1,2,3.\n

Resposta

\nabla\times(\nabla\times\vec{F}) =\nabla(\nabla\cdot\vec{F}) -\nabla^2\vec{F}.

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