Exercício 2. Determine se os campos vetoriais abaixos são conservativos. Em caso afirmativo, determine uma função potencial.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial.
O conteúdo é campos vetoriais em , uso do critério
em domínio simplesmente conectado, e integração para obter o potencial.
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial.
O conteúdo é campos vetoriais em
Passo 2
Calculamos o rotacional
Cada componente:
,
primeira componente
.
,
segunda
.
,
terceira
.
Logo
Logo
Como o domínio é
, que é simplesmente conectado, concluímos que
é conservativo.
Passo 3
Para achar a potencial
satisfazendo
integramos em etapas:
a) Da primeira condição,
a) Da primeira condição,
b) Da segunda,
c) Da terceira,
Podemos escolher a constante igual a zero. Assim
Resposta
O campo
é conservativo e uma função potencial é