Exercício 2. Determine se os campos vetoriais abaixos são conservativos. Em caso afirmativo, determine uma função potencial.
\vec{F}(x, y, z)=(1, \sin z, y \cos z).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
\vec F(x,y,z) = (1,\;\sin z,\;y\cos z)
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial.
O conteúdo é campos vetoriais em \mathbb{R}^3, uso do critério
\nabla\times\vec F=0 em domínio simplesmente conectado, e integração para obter o potencial.

Passo 2

Calculamos o rotacional
\nabla\times\vec F =\Bigl(\frac{\partial}{\partial y}(y\cos z)-\frac{\partial}{\partial z}(\sin z),\; \frac{\partial}{\partial z}(1)-\frac{\partial}{\partial x}(y\cos z),\; \frac{\partial}{\partial x}(\sin z)-\frac{\partial}{\partial y}(1)\Bigr).
Cada componente:
\frac{\partial}{\partial y}(y\cos z)=\cos z,
\frac{\partial}{\partial z}(\sin z)=\cos z \Rightarrow primeira componente = 0.
\frac{\partial}{\partial z}(1)=0, \frac{\partial}{\partial x}(y\cos z)=0 \Rightarrow segunda = 0.
\frac{\partial}{\partial x}(\sin z)=0, \frac{\partial}{\partial y}(1)=0 \Rightarrow terceira = 0.
Logo
\nabla\times\vec F = (0,0,0).
Como o domínio é \mathbb{R}^3, que é simplesmente conectado, concluímos que \vec F é conservativo.

Passo 3

Para achar a potencial \varphi(x,y,z) satisfazendo
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=1,\quad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=\sin z,\quad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=y\cos z,
integramos em etapas:
a) Da primeira condição,
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=1 \implies \varphi(x,y,z)=x + h(y,z).
b) Da segunda,
\frac{\partial\varphi}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(x+h(y,z)) = h_y(y,z) \overset!= \sin z \implies h(y,z)=y\sin z + g(z).
c) Da terceira,
\frac{\partial\varphi}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x+y\sin z+g(z)\bigr) =y\cos z + g'(z) \overset!= y\cos z \implies g'(z)=0 \implies g(z)=\text{const}.
Podemos escolher a constante igual a zero. Assim
\varphi(x,y,z)=x + y\sin z.

Resposta

O campo \vec F é conservativo e uma função potencial é
\varphi(x,y,z)=x + y\sin z.

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