Assuma que sigma1=sigma2. Existe evidência para suportar a declaração de que as duas instalações fornecem água com durezas diferentes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pergunta se, assumindo que sigma1 = sigma2 (ou seja, as variâncias das duas instalações são iguais), há evidências para suportar a afirmação de que as duas instalações fornecem água com durezas diferentes. Estamos lidando com estatística, mais especificamente com testes de hipóteses para comparar médias de dois grupos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula ( H0) é que não há diferença na dureza da água entre as duas instalações, ou seja, mu1 = mu2. A hipótese alternativa ( H1) é que existe uma diferença, então mu1 neq mu2.

Passo 3

Como assumimos que as variâncias são iguais ( sigma1 = sigma2), podemos usar o teste t para duas amostras com variâncias iguais. Esse teste nos ajuda a verificar se as médias de dois grupos são estatisticamente diferentes uma da outra.

Passo 4

Precisamos calcular o valor do teste t usando a seguinte fórmula:
t = barX1 - barX2Sp raiz1n1 + 1n2
Onde:
  • barX1 e barX2 são as médias das duas amostras.
  • Sp é a variância combinada, calculada por:
Sp = raiz(n1-1)S1^2 + (n2-1)S2^2n1 + n2 - 2
  • n1 e n2 são os tamanhos das amostras.
  • S1^2 e S2^2 são as variâncias das amostras.

Passo 5

Depois de calcular o valor de t, comparamos ele com o valor crítico da distribuição t de Student para um determinado nível de significância (por exemplo, 5%) e com os graus de liberdade df = n1 + n2 - 2. Se o valor absoluto de t calculado for maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula.

Passo 6

Como não temos os dados específicos das amostras aqui, vamos concluir que, seguindo esses passos e com os dados adequados, conseguimos determinar se há evidência suficiente para afirmar que as duas instalações fornecem águas com durezas diferentes.

Resposta

Sim, seguindo os passos do teste t para duas amostras com variâncias iguais, podemos verificar se há evidência para suportar que as duas instalações fornecem água com durezas diferentes.

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