Um fabricante de líquido para bolhas de sabão irá testar a fórmula de uma nova solução. A solução será aprovada se o percentual de parisons produzidos, em que o conteúdo não permite a inflação das bolhas, não exceder
. Uma amostra aleatória de 700 parisons contém 55 parisons defeituosos. Use os valores de z arredondados para três casas decimais para a obtenção das respostas.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. Temos um fabricante de líquido para bolhas de sabão que está testando uma nova fórmula. A ideia é que a fórmula seja aprovada se, no máximo, 7% dos “parisons” (que são os componentes que formam as bolhas) fossem defeituosos, ou seja, não permitissem a inflação das bolhas. A gente tirou uma amostra aleatória de 700 parisons e encontrou que 55 são defeituosos. Nosso objetivo é verificar se essa porcentagem de defeituosos está dentro do limite aceitável usando estatística, mais especificamente um teste de proporção utilizando a distribuição z.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses do nosso teste. A gente quer saber se a proporção de defeituosos excede 7%. Então:
- Hipótese Nula (H₀): A proporção de defeituosos é menor ou igual a 7%, ou seja, $ p \leq 0.07 $.
- Hipótese Alternativa (H₁): A proporção de defeituosos é maior que 7%, ou seja, $ p > 0.07 $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a proporção observada na nossa amostra. Sabemos que temos 55 defeituosos em 700 parisons. A proporção amostral ($ \hat{p} $) é:
Passo 4
Em seguida, precisamos calcular o erro padrão da proporção sob a hipótese nula. A fórmula para o erro padrão (EP) é:
Onde:
- $ p_0 = 0.07 $ (proporção na hipótese nula)
- $ n = 700 $ (tamanho da amostra)
Calculando:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor z, que nos mostra quantos desvios padrão a proporção amostral está da proporção hipotética. A fórmula do z é:
Substituindo os valores:
Arredondando para três casas decimais: $ z \approx 0.889 $
Passo 6
Com o valor z calculado, vamos verificar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade associada a esse z. Como nossa hipótese alternativa é $ p > 0.07 $, estamos fazendo um teste unilateral à direita.
Procurando $ z = 0.889 $ na tabela, encontramos que a área à esquerda é aproximadamente 0.8121. Como queremos a área à direita:
Passo 7
Agora, vamos comparar o valor p com o nível de significância $ \alpha $. Normalmente, usamos $ \alpha = 0.05 $ (5%).
Como $ 0.1879 > 0.05 $, não temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula.
Resposta
Com base no teste de proporção, como o valor p (18.79%) é maior que 5%, a nova fórmula é aprovada, pois a porcentagem de parisons defeituosos não excede 7%.