Suponhamos que temos um livro que fornece dados sobre a absorvência de toalhas de papel que foram produzidas por dois processos de manufatura diferentes. A partir do processo 1, o tamanho amostral foi 10 e possui média e desvio-padrão de 190 e 15, respectivamente. A partir do processo 2, o tamanho amostral foi 4 e possui média e desvio-padrão de 310 e 54, respectivamente. Existe evidência para suportar a declaração de que a absorvência média das toalhas do processo 2 apresenta maior absorvência média que as toalhas do processo 1 ? Assuma que os desvios-padrão são conhecidos e use
. Determine o valor da estatística de teste. Suponha que as hipóteses sejam
versus
. Determine a condição necessária para declarar que a absorvência média das toalhas do processo 2 excede aquela do processo 1. Qual nível de erro tipo I você consideraria apropriado para este problema?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dados sobre a absorção de toalhas de papel produzidas por dois processos de fabricação diferentes. Queremos saber se há evidências de que a absorção média das toalhas do processo 2 é maior que a do processo 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística inferencial, especificamente testes de hipóteses para comparação de médias com desvios-padrão conhecidos.
Passo 2
Vamos definir as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula (
) é que não há diferença nas médias de absorção entre os dois processos. A hipótese alternativa (
) sugere que a média do processo 2 é maior que a do processo 1.
Aqui,
é a média do processo 1 e
é a média do processo 2.
Passo 3
Como os desvios-padrão são conhecidos e estamos comparando duas médias, vamos utilizar o teste Z. A fórmula para a estatística de teste Z é:
Onde:
-
e são as médias das amostras dos processos 1 e 2, respectivamente. -
é a diferença hipotética entre as médias (no caso, 0). -
e são os desvios-padrão das populações dos processos 1 e 2. -
e são os tamanhos das amostras dos processos 1 e 2.
Passo 4
Vamos inserir os valores fornecidos na fórmula:
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos determinar a condição para rejeitar a hipótese nula. Com um nível de significância
e sendo um teste unilateral (pois queremos saber se
), o valor crítico de Z é aproximadamente -1,645.
Se o valor calculado de Z for menor que -1,645, rejeitamos
em favor de
.
No nosso caso,
, que é menor que -1,645.
Passo 6
Com relação ao erro tipo I, que é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira, o nível apropriado para este problema já foi definido como
. Isso significa que estamos dispostos a aceitar uma chance de 5% de cometer esse erro.
Resposta
A estatística de teste calculada é
. Como
, rejeitamos a hipótese nula e concluímos que há evidências suficientes para afirmar que a absorvência média das toalhas do processo 2 é maior que a do processo 1, com um nível de erro tipo I de 5%.