Suponhamos que temos um livro que fornece dados sobre a absorvência de toalhas de papel que foram produzidas por dois processos de manufatura diferentes. A partir do processo 1, o tamanho amostral foi 10 e possui média e desvio-padrão de 190 e 15, respectivamente. A partir do processo 2, o tamanho amostral foi 4 e possui média e desvio-padrão de 310 e 54, respectivamente. Existe evidência para suportar a declaração de que a absorvência média das toalhas do processo 2 apresenta maior absorvência média que as toalhas do processo 1 ? Assuma que os desvios-padrão são conhecidos e use alpha=0,05. Determine o valor da estatística de teste. Suponha que as hipóteses sejam H0: mu1-mu2=De versus H1: mu1-mu2<0. Determine a condição necessária para declarar que a absorvência média das toalhas do processo 2 excede aquela do processo 1. Qual nível de erro tipo I você consideraria apropriado para este problema?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dados sobre a absorção de toalhas de papel produzidas por dois processos de fabricação diferentes. Queremos saber se há evidências de que a absorção média das toalhas do processo 2 é maior que a do processo 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística inferencial, especificamente testes de hipóteses para comparação de médias com desvios-padrão conhecidos.

Passo 2

Vamos definir as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula ( H0) é que não há diferença nas médias de absorção entre os dois processos. A hipótese alternativa ( H1) sugere que a média do processo 2 é maior que a do processo 1.
  • H0: mu1 - mu2 = 0
  • H1: mu1 - mu2 < 0
Aqui, mu1 é a média do processo 1 e mu2 é a média do processo 2.

Passo 3

Como os desvios-padrão são conhecidos e estamos comparando duas médias, vamos utilizar o teste Z. A fórmula para a estatística de teste Z é:
Z = (barX1 - barX2) - De
Onde:
  • barX1 e barX2 são as médias das amostras dos processos 1 e 2, respectivamente.
  • De é a diferença hipotética entre as médias (no caso, 0).
  • sigma1 e sigma2 são os desvios-padrão das populações dos processos 1 e 2.
  • n1 e n2 são os tamanhos das amostras dos processos 1 e 2.

Passo 4

Vamos inserir os valores fornecidos na fórmula:
  • barX1 = 190
  • barX2 = 310
  • sigma1 = 15
  • sigma2 = 54
  • n1 = 10
  • n2 = 4
  • De
Substituindo na fórmula:
Z = (190 - 310) - 0raiz15^210 + 54^24 = -120raiz22510 + 29164 = -120raiz22,5 + 729 = -120raiz751,5 approx -12027,42 approx -4,38

Passo 5

Agora, vamos determinar a condição para rejeitar a hipótese nula. Com um nível de significância alpha = 0,05 e sendo um teste unilateral (pois queremos saber se mu2 > mu1), o valor crítico de Z é aproximadamente -1,645.
Se o valor calculado de Z for menor que -1,645, rejeitamos H0 em favor de H1.
No nosso caso, Z approx -4,38, que é menor que -1,645.

Passo 6

Com relação ao erro tipo I, que é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira, o nível apropriado para este problema já foi definido como alpha = 0,05. Isso significa que estamos dispostos a aceitar uma chance de 5% de cometer esse erro.

Resposta

A estatística de teste calculada é Z approx -4,38. Como -4,38 < -1,645, rejeitamos a hipótese nula e concluímos que há evidências suficientes para afirmar que a absorvência média das toalhas do processo 2 é maior que a do processo 1, com um nível de erro tipo I de 5%.

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