Assuma que X \sim B(200 ; 0,02). Calcule:
P(7<X \leq 10)

Passo 1

O enunciado diz que X segue uma distribuição binomial com parâmetros n=200 e p=0,02, ou seja,
X \sim \mathrm{Bin}\bigl(n=200,\;p=0,02\bigr).
Queremos calcular
P(7< X \le 10)=P(8 \le X \le 10).
O conteúdo é probabilidade discreta (binomial), e empregaremos a aproximação por Poisson quando n é grande e p é pequeno, já que \lambda=np=200\cdot0,02=4.

Passo 2

Escrevemos a probabilidade como soma de termos individuais:
P(8 \le X \le 10) =\sum_{k=8}^{10}P(X=k).

Passo 3

Pela aproximação de Poisson, tomamos
X\approx Y\sim\mathrm{Pois}(\lambda=4),
de modo que
P(X=k)\approx P(Y=k) =e^{-4}\,\frac{4^k}{k!}.

Passo 4

Calculamos cada termo aproximado:
Para k=8:
\frac{4^8}{8!} =\frac{65536}{40320}\approx1,624 \quad\Longrightarrow\quad P(Y=8)=e^{-4}\,\frac{4^8}{8!} \approx0,018315\cdot1,624 \approx0,02975.
Para k=9:
\frac{4^9}{9!} =\frac{262144}{362880}\approx0,722 \quad\Longrightarrow\quad P(Y=9)=e^{-4}\,\frac{4^9}{9!} \approx0,018315\cdot0,722 \approx0,01323.
Para k=10:
\frac{4^{10}}{10!} =\frac{1048576}{3628800}\approx0,2889 \quad\Longrightarrow\quad P(Y=10)=e^{-4}\,\frac{4^{10}}{10!} \approx0,018315\cdot0,2889 \approx0,00529.

Passo 5

Somando os termos:
P(8 \le X \le 10) \approx0,02975 + 0,01323 + 0,00529 =0,04827\approx0,0483.

Resposta

Aproximadamente 0,0483.

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