Suponhamos que o salário de funcionários de empresas de TI está sendo estudado. Assuma que a tabela abaixo apresenta os valores, em salários mínimos, obtidos em um levantamento numa certa cidade.
Salário Frequência
2 14
4 25
6 18
8 9
10 4
Calcule a mediana, a moda, a média e a variância do conjunto de dados acima.

Passo 1

O enunciado nos dá uma distribuição de frequência dos salários (em salários mínimos) de funcionários de TI:
\begin{array}{c|c} x_i & f_i\\hline 2 & 14\\\\ 4 & 25\\\\ 6 & 18\\\\ 8 & 9\\\\ 10 & 4 \end{array}
Queremos calcular a mediana, a moda, a média \bar x e a variância \sigma^2. Esse é um exercício de estatística descritiva para dados não agrupados com frequências.

Passo 2

Calcular o total de observações N:
N = \sum_i f_i = 14 + 25 + 18 + 9 + 4 = 70.

Passo 3

Mediana: como N=70 é par, as posições medianas são \tfrac{N}{2}=35 e \tfrac{N}{2}+1=36. Vamos ver em qual valor elas caem, usando as frequências acumuladas:
\begin{aligned} \text{cf}(2)&=14,\\\ \text{cf}(4)&=14+25=39. \end{aligned}
As observações de ordem 35 e 36 estão em x=4. Logo a mediana é
\mediana = 4.

Passo 4

Moda: é o valor com maior frequência. Observando f_i, a maior frequência é 25 em x=4. Logo
\moda = 4.

Passo 5

Média: aplicar a fórmula
\bar x = \frac{1}{N}\sum_i f_i\,x_i.
Calculando o somatório
\sum_i f_i\,x_i = 2\cdot14 + 4\cdot25 + 6\cdot18 + 8\cdot9 + 10\cdot4 = 348,
então
\bar x = \frac{348}{70}\approx 4,97.

Passo 6

Variância: usar
\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_i f_i\,x_i^2 \;-\;\bar x^2.
Primeiro, o somatório de x_i^2:
\sum_i f_i\,x_i^2 = 14\cdot2^2 + 25\cdot4^2 + 18\cdot6^2 + 9\cdot8^2 + 4\cdot10^2 = 2080.
Então
\frac{1}{N}\sum_i f_i\,x_i^2 = \frac{2080}{70} = 29,7143,
e
\sigma^2 = 29,7143 - (4,9714)^2 = 29,7143 - 24,7143 = 5.

Resposta

Mediana =4
Moda =4
Média \approx 4,97
Variância =5

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