Uma moeda equilibrada é lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Seja X a variável aleatória que conta o número de lançamento anteriores à ocorrência de cara. Determine:
P(3 \leq X \leq 5)

Passo 1

O enunciado descreve lançamentos independentes de uma moeda equilibrada até aparecer a primeira cara. Definimos a variável aleatória X como o número de lançamentos anteriores à ocorrência de cara (isto é, o número de “falhas” antes do sucesso). O conteúdo aqui é a distribuição geométrica na forma de contagem de falhas, com parâmetro de sucesso p.

Passo 2

Na distribuição geométrica de falhas, temos
p = \tfrac12
e a fórmula da probabilidade é
P(X = k) = (1-p)^{k}\,p \quad\text{para }k=0,1,2,\dots

Passo 3

Queremos
P(3 \leq X \leq 5) \;=\; P(X=3)+P(X=4)+P(X=5).

Passo 4

Substituindo p=\tfrac12:
P(X=k) = \Bigl(1-\tfrac12\Bigr)^{k}\,\tfrac12 = \bigl(\tfrac12\bigr)^{k}\,\tfrac12 = \bigl(\tfrac12\bigr)^{k+1}.
Logo,
P(3 \leq X \leq 5) = \sum_{k=3}^{5} \bigl(\tfrac12\bigr)^{k+1} = \sum_{n=4}^{6} \bigl(\tfrac12\bigr)^{n} = 2^{-4}+2^{-5}+2^{-6} = \frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64} = \frac{7}{64}.

Resposta

P(3 \leq X \leq 5) = \frac{7}{64}.

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