Assuma que o tempo de duração
de uma consulta médica tenha distribuição exponencial com média de 10 minutos. Calcule a probabilidade dos seguintes eventos:
Uma consulta demora mais que 20 minutos;
Uma consulta demora mais que 20 minutos;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o tempo que dura uma consulta médica, que segue uma distribuição exponencial com média de 10 minutos. Nosso objetivo aqui é calcular a probabilidade de uma consulta demorar mais de 20 minutos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a distribuição exponencial e como usar a fórmula dela para encontrar a probabilidade que queremos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na distribuição exponencial, a média $ \mu $ está relacionada com o parâmetro $ \lambda $ pela fórmula $ \mu = \frac{1}{\lambda} $. Como a média aqui é 10 minutos, temos:
Passo 3
A distribuição exponencial é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente, como é o caso das consultas médicas aqui. A função de probabilidade acumulada (CDF) da distribuição exponencial nos dá a probabilidade de o tempo $ X $ ser menor ou igual a um certo valor. Mas como queremos a probabilidade de ser maior que 20 minutos, vamos usar a complementar.
Passo 4
A probabilidade de $ X $ ser maior que 20 minutos é dada por:
Sabemos que $ P(X \leq 20) $ pode ser calculada usando a CDF da distribuição exponencial:
Portanto:
Passo 5
Substituindo $ \lambda = 0,1 $ na equação acima:
Calculando $ e^{-2} $:
Resposta
A probabilidade de uma consulta demorar mais de 20 minutos é aproximadamente 13,53 %.