Verificar se cada uma das equações é separável, homogênea ou exata.
(x-4 y) d y+2 x y d x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
(x - 4y)\,dy + 2xy\,dx = 0
e pede para verificar se ela é separável, homogênea ou exata.
Para isso vamos reescrevê-la na forma padrão
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
onde
M(x,y) = 2xy, \quad N(x,y) = x - 4y.

Passo 2

Verificação de separabilidade.
Uma equação é separável se puder ser escrita como
\frac{dy}{dx} = f(x)\,g(y).
Do nosso modo padrão temos
\frac{dy}{dx} = -\frac{M(x,y)}{N(x,y)} = -\frac{2xy}{\,x - 4y\,}.
O lado direito mistura x e y de forma não fatorável em “função só de x” times “função só de y”. Logo, não é separável.

Passo 3

Verificação de homogeneidade.
Uma equação M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 é homogênea se M e N forem funções homogêneas do mesmo grau.
Aqui
M(x,y)=2xy
é homogênea de grau 2 (pois 2(\lambda x)(\lambda y)=\lambda^2\cdot2xy),
enquanto
N(x,y)=x-4y
é homogênea de grau 1 (pois \lambda x -4\lambda y=\lambda(x-4y)).
Como os graus são diferentes, a equação não é homogênea.

Passo 4

Verificação de exatidão.
A condição de exatidão é
\frac{\partial M}{\partial y} \overset{?}{=} \frac{\partial N}{\partial x}.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy) = 2x, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x-4y) = 1.
Como 2x \neq 1 em geral, a equação não é exata.

Resposta

A equação diferencial não é separável, não é homogênea e não é exata.

Exercícios relacionados