Verificar se cada uma das equações é separável, homogênea ou exata.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para verificar se ela é separável, homogênea ou exata.
Para isso vamos reescrevê-la na forma padrão
Para isso vamos reescrevê-la na forma padrão
onde
Passo 2
Verificação de separabilidade.
Uma equação é separável se puder ser escrita como
Uma equação é separável se puder ser escrita como
Do nosso modo padrão temos
O lado direito mistura
e
de forma não fatorável em “função só de
” times “função só de
”. Logo, não é separável.
Passo 3
Verificação de homogeneidade.
Uma equação é homogênea se
e
forem funções homogêneas do mesmo grau.
Aqui
Uma equação
Aqui
é homogênea de grau
(pois
),
enquanto
enquanto
é homogênea de grau
(pois
).
Como os graus são diferentes, a equação não é homogênea.
Como os graus são diferentes, a equação não é homogênea.
Passo 4
Verificação de exatidão.
A condição de exatidão é
A condição de exatidão é
Calculamos
Como
em geral, a equação não é exata.
Resposta
A equação diferencial não é separável, não é homogênea e não é exata.