Assume that the temperature is circularly symmetric:
, where
. We will derive the heat equation for this problem. Consider any circular annulus
.
Show that the total heat energy is
.
Show that the total heat energy is
Passo 1
Resumindo o enunciado, queremos calcular a energia térmica total contida num anel circular definido por
, assumindo que a temperatura é simétrica em torno da origem, isto é,
. O conteúdo é derivar a expressão da energia térmica em coordenadas polares, usando que a densidade de energia é
, onde
é o calor específico e
é a densidade do material.
Passo 2
Por definição, a energia térmica total
num corpo plano de espessura unitária é dada pela integral da densidade de energia sobre a área do domínio
:
No nosso caso,
é o anel
.
Passo 3
Para avaliar essa integral, mudamos para coordenadas polares
. O elemento de área é
Logo,
Passo 4
Como
não depende de
, podemos separar a integral em
e em
: