Assume that the temperature is circularly symmetric: u=u(r, t), where r^2=x^2+y^2. We will derive the heat equation for this problem. Consider any circular annulus a <= r <= b.
Show that the total heat energy is 2 pi integrala^b c rho u r d tau.

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos calcular a energia térmica total contida num anel circular definido por a<= r<= b, assumindo que a temperatura é simétrica em torno da origem, isto é, u=u(r,t). O conteúdo é derivar a expressão da energia térmica em coordenadas polares, usando que a densidade de energia é c,rho,u, onde c é o calor específico e rho é a densidade do material.

Passo 2

Por definição, a energia térmica total E num corpo plano de espessura unitária é dada pela integral da densidade de energia sobre a área do domínio D:
E ;=;integral duplaD c,rho,u,dA
No nosso caso, D é o anel a<= r<= b.

Passo 3

Para avaliar essa integral, mudamos para coordenadas polares (r,theta). O elemento de área é
dA ;=;r,dr,dtheta
Logo,
E ;=;integraltheta=0^2piintegralr=a^bc,rho,u(r,t);r,dr,dtheta

Passo 4

Como u não depende de theta, podemos separar a integral em theta e em r:
E ;=;c,rhointegralr=a^bu(r,t),r,gl(integral0^2pidthetagr),dr ;=;c,rho,(2pi)integrala^bu(r,t),r,dr

Resposta

E ;=;2piintegrala^bc,rho,u(r,t);r,d r

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