Consider the polar coordinates
l x=r cos theta y=r sin theta
Show that nabla^2 u=1r partialpartial r(r partial upartial r)+1r^2 partial^2 upartial theta^2.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a laplaciana
nabla^2u = partial^2upartial x^2 + partial^2upartial y^2
em coordenadas polares, onde
x = rcostheta, y = rsintheta
O que vamos usar é a regra da cadeia para derivadas parciais e identidades trigonométricas.

Passo 2

Como u=u(r,theta), aplicamos a regra da cadeia para achar
partial upartial x = partial upartial r,partial rpartial x + partial upartial theta,partial thetapartial x, partial upartial y = partial upartial r,partial rpartial y + partial upartial theta,partial thetapartial y
Como partial r/partial x=costheta, partial r/partial y=sintheta, partialtheta/partial x=-sintheta/r e partialtheta/partial y=costheta/r, resulta
partial upartial x = costheta,ur - sinthetar,utheta, partial upartial y = sintheta,ur + costhetar,utheta

Passo 3

Agora aplicamos
nabla^2u = partial^2upartial x^2 + partial^2upartial y^2
usando as expressões do Passo 2 e diferenciando de novo por x e y via regra da cadeia.
Depois de expandir, agrupar os termos em
,urr,,urtheta,,uthetatheta,,ur
e usar
cos^2theta+sin^2theta=1
e cancelamentos mútuos nos cruzamentos, obtemos
partial^2upartial x^2 + partial^2upartial y^2 = urr + 1r,ur + 1r^2,uthetatheta

Passo 4

Reescrevendo urr+ tfrac1rur no formato divergente fica
urr + 1r,ur = 1r,partialpartial rl(r,urr)
Logo, concluímos a fórmula pedida.

Resposta

nabla^2 u = 1r,partialpartial r!l(r,partial upartial rr) + 1r^2,partial^2upartialtheta^2

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