Consider the polar coordinates
Show that
.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a laplaciana
em coordenadas polares, onde
O que vamos usar é a regra da cadeia para derivadas parciais e identidades trigonométricas.
Passo 2
Como
, aplicamos a regra da cadeia para achar
Como
,
,
e
, resulta
Passo 3
Agora aplicamos
usando as expressões do Passo 2 e diferenciando de novo por
e
via regra da cadeia.
Depois de expandir, agrupar os termos em
e usar
e cancelamentos mútuos nos cruzamentos, obtemos
Depois de expandir, agrupar os termos em
e usar
e cancelamentos mútuos nos cruzamentos, obtemos
Passo 4
Reescrevendo
no formato divergente fica
Logo, concluímos a fórmula pedida.