Assume that the temperature is circularly symmetric:
, where
. We will derive the heat equation for this problem. Consider any circular annulus
.
Use parts (a) and (b) to derive the circularly symmetric heat equation without sources:
Use parts (a) and (b) to derive the circularly symmetric heat equation without sources:
Passo 1
Estamos procurando a equação de calor em coordenadas polares, assumindo simetria circular, ou seja,
com
. Para isso, vamos usar (i) o princípio da conservação de energia num anel circular
, (ii) a lei de Fourier para fluxo de calor em meio contínuo e (iii) a forma do divergente em coordenadas polares para derivar
Passo 2
Calculemos a variação de energia térmica dentro do anel
. A energia interna (por unidade de comprimento na direção
) é proporcional a
Logo, a taxa de variação dessa energia é
Passo 3
Pela lei de Fourier o fluxo de calor radial (positivo para fluxo para fora) é
A quantidade de calor que sai do anel por unidade de tempo é a diferença dos fluxos na fronteira externa e interna:
Passo 4
Conservação de energia diz que a perda de energia interna é igual ao fluxo para fora, ou seja,
Cancelando
e substituindo
obtemos
Passo 5
Repare que
e portanto
Logo a igualdade do Passo 4 pode ser escrita como
Como isso vale para quaisquer
, os integrandos coincidem:
Dividindo por
chega-se à forma desejada.