Assume that the temperature is circularly symmetric: u=u(r, t), where r^2=x^2+y^2. We will derive the heat equation for this problem. Consider any circular annulus a <= r <= b.
Use parts (a) and (b) to derive the circularly symmetric heat equation without sources:
partial upartial t=kr partialpartial r(r partial upartial r)

Passo 1

Estamos procurando a equação de calor em coordenadas polares, assumindo simetria circular, ou seja, u=u(r,t) com r^2=x^2+y^2. Para isso, vamos usar (i) o princípio da conservação de energia num anel circular a<= r<= b, (ii) a lei de Fourier para fluxo de calor em meio contínuo e (iii) a forma do divergente em coordenadas polares para derivar
partial upartial t=krpartialpartial r!l(rpartial upartial rr)

Passo 2

Calculemos a variação de energia térmica dentro do anel a<= r<= b. A energia interna (por unidade de comprimento na direção z) é proporcional a
E(t)=integral0^2pi!integrala^bu(r,t),r,dr,dtheta =2piintegrala^bu(r,t),r,dr
Logo, a taxa de variação dessa energia é
dEdt =2piintegrala^bpartial upartial t,r,dr

Passo 3

Pela lei de Fourier o fluxo de calor radial (positivo para fluxo para fora) é
qr(r,t)=-,k,partial upartial r(r,t)
A quantidade de calor que sai do anel por unidade de tempo é a diferença dos fluxos na fronteira externa e interna:
Qrm out =2pi,b,qr(b,t);-;2pi,a,qr(a,t) =2pil[b,qr(b,t)-a,qr(a,t)r]

Passo 4

Conservação de energia diz que a perda de energia interna é igual ao fluxo para fora, ou seja,
-dEdt =Qrm out Longrightarrow -2piintegrala^but,r,dr =2pil[b,qr(b)-a,qr(a)r]
Cancelando 2pi e substituindo qr=-k,ur obtemos
integrala^but,r,dr =kl[b,ur(b)-a,ur(a)r]

Passo 5

Repare que
ddrl(r,urr) =ur + r,urr,
e portanto
integrala^bk,ddrl(r,urr),dr =kl[b,ur(b)-a,ur(a)r]
Logo a igualdade do Passo 4 pode ser escrita como
integrala^but,r,dr =integrala^bk,ddrl(r,urr),dr
Como isso vale para quaisquer a,b, os integrandos coincidem:
ut(r,t),r =k,ddrl(r,ur(r,t)r)
Dividindo por r chega-se à forma desejada.

Resposta

partial upartial t =kr,partialpartial r!l(r,partial upartial rr)

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