Consider the polar coordinates
l x=r cos theta y=r sin theta
Show that r=cos theta i+sin theta j and theta=-sin theta i+cos theta j.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas polares
x = r cos theta, y = r sin theta
e pede para encontrar os versores unitários hat r e hattheta em função de hat i e hat j.

Passo 2

Escrevemos o vetor posição no plano xy:
vec r = x,hat i + y,hat j
Substituindo as coordenadas polares, obtemos
vec r = rcostheta,hat i + rsintheta,hat j

Passo 3

Como hat r aponta na direção radial, normalizamos vec r dividindo por r:
hat r = vec rr = costheta,hat i + sintheta,hat j

Passo 4

Para achar hattheta, observamos que ele é tangencial e pode ser obtido por
derivada de vec r em relação a theta (com r fixo) e depois normalização. Primeiro calculemos
partialvec rpartialtheta = -rsintheta,hat i + rcostheta,hat j
Dividindo por r para normalizar, vem
hattheta = -sintheta,hat i + costheta,hat j

Passo 5

Com isso, concluímos as expressões dos dois versores em coordenadas polares.

Resposta

hat r = costheta,hat i + sintheta,hat j, hattheta = -sintheta,hat i + costheta,hat j

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